Редактирование: История математики, теоретический минимум

Использовали дроби? Использовали, но только вида 1/n. Была таблица для представления дробей вида 2/n, как сумму аликвотных дробей.

Что умели в геометрии? Считать площадь треугольника, прямоугольника, трапеции, круга. Площадь круга --- (8/9 d)^2.

==[[wikipedia:ru:Милетская школа]]==

[[wikipedia:ru:Фалес Милетский]]

==[[wikipedia:ru:Пифагор]] и пифагорейцы==

'''[[wikipedia:ru:Демокрит]]''' считал, что все тела состоят из атомов. Первым рассмотрел стереометрию; первым установил, что объём пирамиды и конуса равен соответственно одной трети объёма призмы и цилиндра под той же высотой и с той же площадью основания.

 

'''[[wikipedia:ru:Евдокс]]''' Метод исчерпывания - чтобы измерить площадь фигуры, надо последовательно вписывать аппроксимирующие фигуры (существование – через построение, единственность не рассматривалась). Общая теория отношений.

 

 

 

 

 

Сначала Диофант исследует системы уравнений 2-го порядка от 2 неизвестных; он указывает метод нахождения других решений, если одно уже известно. Затем аналогичные методы он применяет к уравнениям высших степеней.

'''[[wikipedia:ru:Архимед]]''' (287-212 до нэ)- "Эврика!" (закон Архимеда), оборона Сиракуз: войны, вставшие параболой и поджегшие корабль, всякие военные машины и чертежи на песке. Достижения - линии, круг, площади методами в духе интегралов, оценки значения пи через периметры правильных многоугольников, теорема о промежуточных значениях непрерывной функции, площади и объемы фигур через суммы Дарбу - главный результат (на своей могиле Архимед завещал выбить шар, вписанный в цилиндр). Трактат о количестве песчинок во Вселенной.

'''[[wikipedia:ru:Аристарх]]''' (ок. 310 до н. э., Самос — ок. 230 до н. э.) является одним из основоположников тригонометрии.

* греки построили математику как целостную науку с собственной методологией, основанной на чётко сформулированных законах логики (гарантирующих истинность выводов при условии, что истинны предпосылки).

* они провозгласили, что законы природы постижимы для человеческого разума, и математические модели — ключ к их познанию.

Одним из первых крупных ученых, связанных с Александрией, был Евклид, живший около 300 г. до н.э. Ничего, кроме научных трудов, о его биографии не известно. Евклид - один из наиболее влиятельных математиков всех времен. Наиболее знаменитое его произведение “Начала”. Это первое значительное произведение, дошедшее до нас полностью. В истории Западного мира это, по-видимому, второе после Библии произведение по числу изданий. После изобретения книгопечатания (в Европе в XV веке) оно издавалось более 1000 раз. Большая часть школьной геометрии заимствована из “Начал”. Логическое построение “Начал” повлияло на научное мышление больше, чем какое-либо иное произведение. Оно основывается на строго логическом выводе теорем из системы определений, постулатов и аксиом.

[[wikipedia:Slide rule]], XVI-XVII века.

'''Зачем'''? Потребность в сложных расчётах в XVI веке быстро росла, и значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел. В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую (исходн.) и арифметическую прогрессии, заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, а деление -- на неизмеримо более простое и надёжное вычитание.

===[[wikipedia:ru:Непер, Джон|Джон Непер]] (1550 – 1617)===

В 1614 опубликовал работу "Описание удивительных таблиц логарифмов" - логарифмы и тригонометрические функции(0-90 градусы,шаг 1 минута) с точностью до восьмого знака. Таблицу Непера составляли логарифмы тригонометрических функций. Прежде всего отдельную колонку составляли логарифмы синусов углов первой четверти, выбранных с интервалом 1 минута. Они давали и значения логарифмов косинусов (как синусов дополнительных углов). В специальной колонке под названием "разности" приведены разности логарифмов дополнительных углов, т.е. логарифмы тангенсов. Неперу было известно, что логарифмы обратных тригонометрических функций получаются просто изменением знака.

1617 - проф. '''Бриг''' из Лондона, 8-значные таблицы чисел от 1 до 1000. Затем он же логарифмы - от 1 до 20000, 80000-100000.

===[[wikipedia:ru:Edmund Gunter|Эдмунд Гюнтер]] (1581 – 1626)===

Оксфорд. Разработал логарифмическую шкалу, явившуюся первым вариантом широко ныне распространенной логарифмической линейки. Он же, а кроме него Кеплер и другие ученые, составлял таблицы логарифмов чисел и тригонометрических функций, как десятичные так, и натуральные, и широко использовал их в астрономии. В 1624 некий '''Edmund Wingate''' опубликовал его результаты в Париже. На дощечке наносил логарифмы чисел, затем измерительным циркулем мерял расстояния - разности и суммы.

===[[wikipedia:ru:Отред, Уильям|Уильям Отред]] (1575 – 1660)===

Отред из Кембриджа внёс решающий вклад в изобретение удобной для пользования логарифмической линейки тем, что предложил использовать две одинаковые шкалы, скользящие одна вдоль другой. 1630 год — он и его ученик '''Ричард Деламейн''' создают круговую логарифмическую линейку, но результаты не публикуют, подобно Ньютону, который передавал знания только лично. Саму идею логарифмической шкалы ранее опубликовал валлиец '''Эдмунд Гюнтер''', но для выполнения вычислений эту шкалу нужно было тщательно измерять двумя циркулями. Двойная шкала Отреда сразу давала результат. В 1662 году Сет Партридж изобрёл бегунок и визир, и в этом виде логарифмическая линейка верно служила инженерам и математикам более 300 лет, пока не появились электронные калькуляторы.

Отред изобрёл также компактную круговую логарифмическую линейку, которая получила некоторую известность и вызвала ряд подражаний. В окончательном виде круговая линейка Отреда имела десять шкал и позволяла умножать, делить и находить значения нескольких тригонометрических функций.

 

===[[wikipedia:Nicholas Mercator|Николас Меркатор (Кауфман)]] (1620 – 1681)===

 

 

Он также ввёл термин "натуральный логарифм" - хотя его основание далеко не натурально.

 

*[[wikipedia:ru:Тарталья, Никколо]]

Ферро думал над решением уравнения третьей степени х^3 + ax = b, a, b > 0. (Glider: википедия говорит, что он даже научился их решать (и это правда по Рыбникову.))

Ответ Ферро:

<math>x = \sqrt[3]{\frac{b}{2}+\sqrt{\frac{b^2}{4}-\frac{a^3}{27}}}+\sqrt[3]{\frac{b}{2}-\sqrt{\frac{b^2}{4}-\frac{a^3}{27}}}</math>

Никколо Тарталья (итал. Niccolò Fontana Tartaglia, 1499—1557) . Когда французы входили в Болонию, то осколком разрыва его ранило в гортань, и он стал заикаться. Тарталья в переводе и есть заика. =)

Он был сыном довольно бедного человека, что даже в школе учился только очень недолго и в самых начальных классах. И деньги кончились очень быстро. И тем не менее он продолжал самообразование, и стал в результате довольно известным человеком во многих сферах. В частности, Тарталья изучал уравнения третьей степени.

Также он интересовался математическими проблемами, в частности, решением кубического уравнения. И в Италии был соревновательный дух. И было так: два человека вызывали друг друга на дуэль (математическую), в присутствии кучи людей. И каждый выдавал друг другу задачи, и кто больше задач решил, тот победил. И если решить на n задач меньше, то n человек из группы поддержки могли обедать у противоположной стороны.

Фиоре вызвал Тарталью на дуэль, дал 30 задач того же типа (все!). В общем, он их все решил. И победил. Фиоре не решил одну из задач. =)

Метод Тартальи, как, по-видимому, и метод Ферро, состоял в подборе подходящей формы алгебраической иррациональности уравнений указанного выше вида. Предположив, что x = u^1/3 - v^1/3, подставив это выражение в уравнение и положив p = 3(uv)^1/3 он получил систему: u - v = q; uv = p^3/27 и нашел u и v интерпретируя их как корни квадратного уравнения.

Это не то же самое, чем если бы было с переносом слагаемых в другую часть - отрицательных чисел не было. Общих формул тоже не было (для произвольных коэффициентов).

Тарталья известен формулой для площади произвольного тетраэдра (формула Тартальи). Он установил, что она равна определителю Кейлера-Менгера от попарных расстояний между вершинами:

:<math> V^2 = \frac{1}{288} \det \begin{bmatrix}

0 & d_{12}^2 & d_{13}^2 & d_{14}^2 & 1 \\

d_{21}^2 & 0 & d_{23}^2 & d_{24}^2 & 1 \\

d_{31}^2 & d_{32}^2 & 0 & d_{34}^2 & 1 \\

d_{41}^2 & d_{42}^2 & d_{43}^2 & 0 & 1 \\

1 & 1 & 1 & 1 & 0

\end{bmatrix} </math>

Это обобщение Формулы Герона для площади треугольника.

Кроме того, он вычислил биномиальные коэффициенты методом треугольника Тартальи (он же треугольник Паскаля).

=== Кардано ===

*[[wikipedia:ru:Кардано]]

 

Кардано ввел регулярный способ сведения полного кубического уравнения ax^3+bx^2+cx+d=0 к виду, в котором отсутствует член с квадратом неизвестного, с помощью подстановки x=x1+h и распространил его на уравнения 4-й степени. Также в его книге высказано много теорем о взаимозависимости корней и коэффициентов: о положительных и отрицательных (называя их "фиктивными") корнях, об их сумме и другие теоремы, например: если в уравнении все члены, стоящие в левой части, имеют степень большую, чем степени членов в правой части, то уравнение имеет один и только один положительный корень. Наконец, Кардано показал делимость алгебраического полинома Pn(x) на x-x1, где x1 - корень уравнения Pn(x) = 0. Кардано также включил в свою книгу и метод решения уравнений 4-й степени путем сведения задачи к кубической резольвенте, открытый его учеником Феррари.

 

 

Важнейший шаг к новой математике сделал француз Франсуа Виет. Он окончательно сформулировал символический метаязык арифметики — буквенную алгебру. С её появлением открылась возможность проведения исследований невиданной ранее глубины и общности. В своей книге «Введение в аналитическое искусство» Виет показал примеры мощи нового метода, найдя знаменитые формулы Виета. Умел раскладывать sin и cos kx через sin и cos. Формулы для синуса и косинуса суммы.

Машина Шиккарда состояла из трех частей: суммирующее устройство, множительное и механизм для записывания промежуточных результатов. Первое из них представляло раннюю разновидность арифмометра, построенного на принципе использования зубчатых передач. На параллельных осях (их было 6) насаживались по одной десятизубой и однозубой шестерне. Последняя служила для того, чтобы передать шестерне следующего разряда толчок, поворачивающий ее на 0,1 оборота, после того как предыдущая шестерня сделает полный оборот. Техническое оформление машины позволяло видеть в окошках, какое число набрано в качестве первого слагаемого (или уменьшаемого) и последующие результаты, вплоть до итогового. Вычисление не представляло при этом затруднений. Для деления рекомендовалось повторное вычитание делителя из делимого. Умножение: на 6 параллельных осей насаживались цилиндры, на каждый из которых наворачивалась таблица умножения. Перед цилиндрами устроена панель с девятью рядами окошек, каждый ряд открывается и закрывается специальной фигурной задвижкой. Третья часть машины состояла из шести барабанчиков с нанесенными на них цифрами: 1, 2, ..., 9, 0 и соответственно из панели с шестью окошками. Поворотом барабанов в окошках фиксировалось число, которое вычислителю надо запомнить.

Магистр, профессор Кэмбриджа, был избран членом, а в последствии и президентом Лондонского королевского общества (аналог АН).

Достижения: вывод и формулировка основных законов классической механики, и далее по тексту.

В методе флюксий изучаются переменные величины, вводимые как абстракции различных видов непрерывного механического движения. Называются они флюентами, т.е. текущими, от латинского fluente - течь. Все флюенты являются зависимыми переменными; они имеют общий аргумент - время. Точнее, речь идет о математическом. абстрагированном аналоге времени - некой воображаемой абстрактной равномерно величины, к которой отнесены флюенты. Далее приводятся скорости течения флюент, т.е. производные по времени. Названы они флюксиями. Так как флюксия представляет собой переменную, то можно вводить флюксию от флюксии и т.д. Для вычисления мгновенных скоростей - флюксий потребовались бесконечно малые изменения флюент, названные ньютоном моментами. По существу момент флюенты - это ее дифференциал. В теории флюксий решаются две главные задачи, сформулированные как в механических так и в математических терминах:

1) Определение скорости движения в данный момент времени по заданному пути. Иначе: определение соотношения между флюксиями из заданного соотношения между флюентами.

2) По заданной скорости движения определить пройденный за данное время путь. В математических терминах: определить соотношение между флюентами по заданному соотношению между флюксиями.

Первая задача - задача дифференцирования, вторая - задача интегрирования.

В математическом плане лейбницево дифференциальное исчисление складывалось в общих чертах из следующих посылок:

1) задачи суммирования рядов;

2) решение задач о касательных, характеристический треугольник Паскаля и постепенный перенос соотношений между конечными элементами на произвольно, а затем и бесконечно малые;

3) обратные задачи на касательные, суммирование бесконечно малых разностей, открытие взаимообразности дифференциальных и интеграционных задач.

Начал классифицировать кривые по степени. Занимался анализом бесконечно малых.

Эйлеру принадлежат открытия во всех областях современной ему математики, математической физики и механики. В своих работах по математическому анализу он заложил основы ряда математических дисциплин. Так, он положил основания теории функций комплексного переменного, теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Явился создателем вариационного исчисления и многих приемов интегрирования.

Эйлер внес большой вклад в алгебру и теорию чисел, где его результаты являются классическими и известны в науке под названием формул и теорем Эйлера.

Используя специально подобранную символику, Эйлер облегчил язык математики, сделал ее более обозримой и более доступной. Он, например, ввел сокращенные обозначения тригонометрических функций угла х: tg x, ctg x, sec x, cosec x (обозначения sin x и cos x : были введены И. Бернулли).

Эйлер установил современную точку зрения на тригонометрические функции как функции числового аргумента. В трудах Эйлера тригонометрия приняла тот вид, который она имеет в настоящее время.

Принцип работы: [[wikipedia:Difference_engine#Method_of_differences]]

=[[wikipedia:ru:неевклидова геометрия|Неевклидова геометрия]] и [[wikipedia:ru:Николай Лобачевский|Николай Лобачевский]] (1792 — 1856)=

'''Что это'''? Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) — одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского. Постулат Лобачевского: через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.

 

'''Зачем'''? Ещё со времен Евклида много математиков пыталось доказать некоторые аксиомы Евклида для того, чтобы уменьшить их количество. На кой? Х.з., наверно, это покажет, что мир устроен ещё проще, чем на самом деле. Лобачевский исходил из попытки доказать 5 постулат евклида. Также, считает аксиому параллельности Евклида произвольным ограничением. С его точки зрения, это требование слишком жёсткое, ограничивающее возможности теории, описывающей свойства пространства. В общем, у него ни хрена не получилось и он, посрав на всё, решил сделать аксиомой обратное утверждение: "через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её" или назвал его своим постулатом.))

 

 

 

 

Для бесконечно малых размеров его геометрия превращается в евклидову. Евклидова геометрия может быть из нее получена предельным переходом (при стремлении кривизны пространства к нулю). В самой геометрии Лобачевского кривизна отрицательна.

 

'''Кому пригодилось'''? Первой интерпретацией геометрии Лобачевского можно считать результаты Бельтрами, касающиеся задачи картографии: отобразить поверхность на плоскость таким образом, чтобы все геодезические линии на поверхности изображались прямыми на плоскости. Но эта интерпретация оказалась неполной. Применение его геометрии нашла Бельтрани(траектрисса, псевдосфера), Клейн. Полным доказательством непротиворечивости геометрии Лобачевского является модель Клейна.

 

Большинство работ Остроградского относились к области механики, математической физики и связанных с ними проблем математического анализа. Кроме того он оставил после себя первоклассные работы по алгебре, теории чисел и теории вероятностей.

Решил задачу о распространении волн на поверхности жидкости в цилиндрическом бассейне, позже решил ту же задачу для бассейна, имеющего форму кругового сектора. Дал оригинальный вывод уравнения Пуассона, развил метод Фурье для твердых тел в общей форме, впервые дал строгое решение задачи о распространении тепла в жидкости.

В мат анализе - формула Остроградского, ее обобщение на случай n-кратного интеграла, формула дифференцирования кратного интеграла по параметру.

Доказал, что алгебраический интеграл от рациональной функции может быть только рациональной функцией. Интеграл от алгебраической функции не может содержать ни показательных, ни тригонометрических функций. Найден способ отделения алгебраической части интеграла от рациональной дроби.

Буняковский в работах по теории чисел доказал квадратичный закон взаимности, решил ряд задач диофантова анализа.

Король математиков. В 3-летнем возрасте нашёл у отца ошибку в рассуждениях. Страсть как любил считать. Всё и вся. В 19 лет защитил докторскую диссертацию, в которой доказал основную теорему алгебры, не ссылаясь на то, что корни существуют. Лет через 20 доказал другим способом (более просто). А гордился он решением одночленных уравнений в комплексной плоскости. Построил 17угольник =) На пару с Коши ввели и обосновали операции над числами a +- bi, ввели термин "комплексное число", нашли "норму" (Гаусс) или "модуль" (Коши), определили понятие сопряженности комплексных чисел. Создал общую теорию квадратичных форм.

Писал работы, отсылал, рецензий нет. Пуассон задвинул Галуа, Абеля - Коши. "Мы не нашли там ни одной разумной мысли". Пытался найти формулу для решения уравнений выше 4й степени. Отрицательный результат - может быть тоже положительным результатом... Доказал, что не существует общих формул для нахождения общих решений выше 4 для произвольных уравнений. Признак сходимости рядов Абеля. Интегрировал сложные функции, теория эллиптических и гиперэллиптических интегралов. Этой проблемой занималась ещё Ковалевская потом, на основе результатов Абеля. Он поправил Коши - в критерии равномерной сходимости. Всегда был беден, занимался частными уроками... Доказал, что если уравнение алгоритмически разрешимо, то его корню всегда можно дать такой вид, что все алгебраические функции, из которых он составляется, выражаются через рациональные функции корней данного уравнения.

Галуа доказал, что для всякого уравнения Pn(x)=0 можно в той же области рациональности найти некоторое уравнение Q(x) = 0, называемое нормальным. Корни исходного и нормального уравнения выражаются друг через друга нормально. Нормальное уравнение - это уравнение, обладающее тем свойством, что все его корни рационально выражаются через один из них и элементы поля коэффициентов. Все подстановки корней нормального уравнения образуют группу G. Это и есть группа Галуа уравнения Q(x), или, что то же самое Pn(x)=0. Она обладает замечательным свойством: любое рациональное соотношение между корнями и элементами поля R инвариантно относительно подстановок группы G. Таким образом Галуа связал с каждым уравнением группу подстановок его де корней. Он же ввел термин "группа" - адекватное современному. Чтобы разрешимость уравнения в радикалах имела место, необходимо и достаточно, чтобы соответствующая группа Галуа была разрешима.

Доказал теоремы существования для дифференциальных уравнений с учетом условий начального состояния (задачи Коши). Доказал то же для линейной системы уравнений с частными производными, указав способ приведения к этому виду нелинейной системы.

Развивал теорию вычетов не претендуя на приоритет перед Эйлером. В работах Коши впервые появилась интегральная формула.

Он преподавал богословие в Чехии. С точки зрения властей был очень неблагонадёжен. В конце концов его попросили со службы, и он удалился в деревню, где занимался математикой. И именно поэтому он не очень известен. В 1817 году доказал первые серьёзные теоремы. Дал строгое определение непрерывности; односторонней непрерывности; свойства её. В 1830 году Больцано построил пример функции, которая непрерывна, но нигде не дифференцируема - в пику Амперу. Если функция непрерывна, то ряд Фурье не обязан сходиться! Но вот построить такую функцию... пример Фейера, пример Колмогорова. Опередил Вейерштрасса, доказав теорему, что если множество вещественных чисел ограниченно сверху (соответсвенно, снизу), то оно имеет точную верхнюю (нижнюю) грань. Вывел критерий сходимости последовательностей. Доказал, что непрерывная функция принимает все промежуточные значения, лежащие между двумя ее различными значениями.

Обобщил теорему Коши о разложении в степенной ряд функции комплексного переменного, непрерывной и дифференцируемой в кольце, образованном двумя коническими окружностями.

Опроверг формулу Лежандра.

Родился в Рязани, долгое время работал в Петербурге. Внес большой вклад в теорию вероятностей и математический анализ. В честь Маркова названы цепи Маркова и неравенство Маркова. Аппарат марковских цепей был позже обобщен Колмогоровым. Цепи Маркова и скрытые марковские модели широко используются в CS.

Развил метод моментов.

Развивал метод характеристических функций.

Доказала существование единственного аналитического решения задачи Коши для дифференциального уравнения с частными производными. Нашла, независимо от Коши, линейное преобразование аргументов, приводящее уравнение к нормальной форме. Нашла более высокую степень приближения по сравнению с решением Лапласа, что позволило ей утверждать, что кольца Сатурна в сечении имеют не эллиптическую (по Лапласу), а яйцевидную форму. Ей были найдены условия приведения ультра эллиптического интеграла, содержащего полином восьмой степени, к эллиптическому интегралу первого рода. Ковалевская установила, что уравнения движения твердого тела около неподвижной точки в общем случае не имеют однозначных решений с пятью произвольными постоянными и на всей комплексной плоскости в качестве особых точек содержат только полюса. Затем она нашла, что в некоторых случаях все элементы движения могут выражать через эллиптические функции от времени t. Первые два случая разрешили Эйлер и Пуансо (1), Лагранж (2). Третий случай разрешила сама К., когда центр тяжести тела лежит на плоскости экватора эллипсоида инерции, построенного для неподвижной точки, служащего эллипсоидом вращения и удовлетворяющего условию A=B=2C (А,В,С - главные моменты инерции)

В 1946 году группа учёных во главе с Джоном фон Нейманом (Герман Голдстайн, Артур Беркс) опубликовали статью «Предварительное рассмотрение логической конструкции Электронно-вычислительного устройства». В статье обосновывалось использование двоичной системы для представления данных в ЭВМ (преимущественно для технической реализации, простота выполнения арифметических и логических операций. До этого машины хранили данные в десятеричном виде), выдвигалась идея использования программами общей памяти. Имя фон Неймана было достаточно широко известно в науке того времени, что отодвинуло на второй план его соавторов, и данные идеи получили название «Принципы фон Неймана».

# '''Принцип использования двоичной системы счисления для представления данных и команд'''.

# '''Принцип программного управления'''.

#* Программа состоит из набора команд, которые выполняются процессором друг за другом в определенной последовательности.

# '''Принцип однородности памяти'''.

#* Как программы (команды), так и данные хранятся в одной и той же памяти (и кодируются в одной и той же системе счисления — чаще всего двоичной). Над командами можно выполнять такие же действия, как и над данными.

# '''Принцип адресуемости памяти'''.

#* Структурно основная память состоит из пронумерованных ячеек; процессору в произвольный момент времени доступна любая ячейка.

# '''Принцип последовательного программного управления'''

#* Все команды располагаются в памяти и выполняются последовательно, одна после завершения другой.

# '''Принцип условного перехода'''.

#* Сам принцип был сформулирован задолго до фон Неймана Адой Лавлейз и Чарльзом Бэббиджем, однако он добавлен в общую архитектуру.

Компьютеры, построенные на этих принципах, относят к типу фоннеймановских.

У нас были академики Андрей Ершов, Лебедев. Они строили БЭСМ. Лев Королёв писал для неё ОС.

Интуициони́зм — система философских и математических идей и методов, связанных с пониманием математики как совокупности «интуитивно убедительных» умственных построений. С точки зрения интуиционизма, основным критерием истинности математического суждения является интуитивная убедительность возможности проведения мысленного эксперимента, связываемого с этим суждением. Поэтому в интуиционистской математике отвергается теоретико-множественный подход к определению математических понятий, а также некоторые способы рассуждения, принятые в классической логике.

Интуиционистская математика является достаточно разработанным направлением, которое достигло многих существенных результатов, в том числе и в таких областях, как теория меры, функциональный анализ, топология, теория дифференциальных уравнений.

=== Критика классической математики ===

Отдельные черты интуиционизма можно проследить ещё в античной математике, а позднее в высказываниях таких учёных, как [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусс]], [[Кронекер, Леопольд|Кронекер]], [[Пуанкаре, Анри|Пуанкаре]], [[Лебег]], [[Борель, Эмиль|Э.Борель]]. Однако в своём современном виде интуиционизм возник как результат критического пересмотра основ классической математики, проведённого начиная с [[1907]] года [[Брауэр, Лейтзен Эгберт Ян|Л. Э. Я. Брауэром]].

В основе критики Л. Э. Я. Брауэра лежит вопрос о природе [[математический объект|математических объектов]] и суждений о них. Так, естественно представить, что произвольное [[натуральное число]] может быть построено в виде последовательного ряда однородных предметов, например, ряда [[точка (геометрия)|точек]]. Столь же естественно представить, что, построив некоторое натуральное число, можно построить затем и следующее, добавив к уже построенному ещё одну точку. Поэтому природа натуральных чисел является интуитивно ясной. Однако наряду с такими объектами в классической математике рассматриваются и объекты с интуитивно неясной природой, например, «[[множество всех натуральных чисел]]» и «[[Мера_Лебега#.D0.9F.D1.80.D0.B8.D0.BC.D0.B5.D1.80_.D0.BD.D0.B5.D0.B8.D0.B7.D0.BC.D0.B5.D1.80.D0.B8.D0.BC.D0.BE.D0.B3.D0.BE_.D0.BC.D0.BD.D0.BE.D0.B6.D0.B5.D1.81.D1.82.D0.B2.D0.B0|множество, неизмеримое по Лебегу]]». С ними не связывается никакого способа их мысленного построения, и потому их действительное существование представляется сомнительным.

Одним из источников возникновения такого рода «монстров» в классической математике являются ''[[Теорема чистого существования|теоремы чистого существования]]'', в которых наличие искомого объекта утверждается лишь на основе формального опровержения гипотезы о его невозможности. Иначе говоря, фундамент таких теорем составляет представление об абсолютной непогрешимости законов классической логики.

Это представление также стало одной из мишеней критики Брауэра. С его точки зрения, законы [[Классическая логика|классической логики]] возникли в результате рассмотрения конечных совокупностей, при работе с которыми доказательство чистого существования заведомо может быть дополнено эффективным способом построения искомого объекта — полным перебором. При переходе же к рассмотрению бесконечных совокупностей эти законы становятся недостоверными, поскольку полного перебора таких совокупностей мы провести уже не можем.

В качестве простейшего примера рассмотрим следующую теорему чистого существования:

: ''«для любого вещественного числа <math>x</math> найдётся натуральное число <math>n</math>, равное <math>1</math> в случае <math>x=0</math>, и равное <math>2</math> в случае <math>x\neq 0</math>»''

Признать такое число <math>n</math> действительно существующим мы могли бы лишь в том случае, если бы умели сравнивать произвольное [[вещественное число]] <math>x</math> с нулём, чего, однако, мы делать не умеем. Действительно, число <math>x</math> на деле задаётся некоторой [[бесконечная последовательность|бесконечной последовательностью]] рациональных чисел <math>\{x_n\}_{n=1}^{\infty}</math>. Эффективным способом сравнения числа <math>x</math> с нулём был бы лишь такой, который позволял бы производить это сравнение на основе просмотра некоторого конечного (пусть и очень большого) набора чисел <math>x_k</math>. Однако такое рассмотрение не позволяет надёжно установить верность равенства <math>x=0</math>.

Аналогичные трудности возникают при попытках прояснения статуса существования многих других объектов классического анализа, например, точек [[экстремум]]а [[непрерывная функция|непрерывной функции]] на [[отрезок|отрезке]], нулей знакопеременных непрерывных функций на отрезке и т. д. Никакого способа эффективного построения указанных объектов в нашем распоряжении не имеется.

Такая критика классической математики не связана непосредственно с [[антиномия]]ми [[теория множеств|теории множеств]]. Появление антиномий можно рассматривать как дополнительный довод в пользу неудовлетворительности теоретико-множественного подхода, но критика относится и к таким разделам математики, где антиномий не возникает.

Логицизм — одно из направлений в основаниях математики, ставящее целью обосновать математику путем сведения ее исходных понятий к понятиям логики.

Мысль о сведении математики к логике высказывалась Лейбницем в конце 17 в. Практическое осуществление логицистического тезиса было предпринято в конце 19 — начале 20 вв. в работах Фреге, Уайтхеда и Рассела . Взгляд на математику как на часть логики обусловлен тем, что любую математическую теорему в аксиоматической системе можно рассматривать как некоторое утверждение о логическом следовании. Остается только все встречающиеся в таких утверждениях константы определить через логические термины. К концу 19 в. в математике различные виды чисел, включая комплексные, были определены в терминах натуральных чисел и операций над ними. Попытка сведения натуральных чисел к логическим понятиям была предпринята Г. Фреге. В интерпретации Г. Фреге натуральные числа были кардинальными числами некоторых понятий. Однако система Фреге не свободна от противоречий. Это выяснилось, когда Рассел обнаружил противоречие в канторовой теории множеств (см. парадокс Рассела), пытаясь свести ее к логике. Обнаруженное противоречие побудило Рассела к пересмотру взглядов на логику, которую он сформулировал в виде теории разветвленных типов. Однако построение математики на основе теории типов потребовало принятия аксиом, которые неестественно считать чисто логическими. К ним относятся, например, аксиома бесконечности, которая утверждает, что существует бесконечно много индивидов, то есть объектов наинизшего типа.

В целом попытка сведения математики к логике не удалась. Как показал Гёдель, никакая формализованная система логики не может быть адекватной базой математики.