Определения из теории вероятностей

Материал из eSyr's wiki.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(→Случайная величина)
Текущая версия (01:00, 30 декабря 2009) (править) (отменить)
 
(8 промежуточных версий не показаны.)
Строка 9: Строка 9:
= Случайная величина =
= Случайная величина =
 +
 +
Определение случайной величины различно для 2-х случаев: <math>\Omega</math> -- счетное или не счетное
 +
'''Случайная величина''' -- подмножество исходов случайного эксперимента. При многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности.
'''Случайная величина''' -- подмножество исходов случайного эксперимента. При многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности.
Строка 14: Строка 17:
-
'''Случайная величина''' -- это функция, заданная на пространстве элементарных событий <math>\Omega = {\omega_1, ... , \omega_n}</math>.
+
'''Случайная величина''' -- это функция, заданная на пространстве элементарных событий <math>\Omega = \{\omega_1, ... , \omega_n\}</math>.
==Определение==
==Определение==
-
Пусть <math>(\Omega,\mathcal{F}, \mathbb{P})</math> — вероятностное пространство. Функция <math>X\colon\Omega \to \mathbb{R}</math>, измеримаяотносительно <math>\mathcal{F}</math> и борелевской σ-алгебры на <math>\mathbb{R}</math>, называется случайной величиной.
+
Пусть <math>(\Omega,\mathcal{F}, \mathbb{P})</math> — вероятностное пространство. Функция <math>X\colon\Omega \to \mathbb{R}</math>, измеримая относительно <math>\mathcal{F}</math> и борелевской σ-алгебры на <math>\mathbb{R}</math>, называется случайной величиной.
Вероятностное поведение случайной величины полностью описывается её распределением.
Вероятностное поведение случайной величины полностью описывается её распределением.
 +
 +
==Определение==
 +
Случайной величиной называется функция <math>X = X(\omega)</math>, заданная на пространстве элементарных событий <math>\Omega</math>, для которой событие {X < x} = <math>\{ \omega: X(\omega) < x \}</math> принадлежит <math>\sigma </math>-алгебре A для любого вещественного X.
= Вероятность =
= Вероятность =
Строка 43: Строка 49:
* Каждое случайное событие (элемент <math>\mathcal{F}</math>) — это подмножество <math>\Omega \ </math>. Говорят, что в результате эксперимента ''произошло'' случайное событие <math>A\subset \Omega</math>, если (элементарный) исход эксперимента является элементом <math>A</math>.<br>Требование, что <math>\mathcal{F}</math> является сигма-алгеброй подмножеств <math>\Omega \ </math>, позволяет, в частности, говорить о вероятности случайного события, являющегося объединением счетного числа случайных событий, а также о вероятности дополнения любого события.
* Каждое случайное событие (элемент <math>\mathcal{F}</math>) — это подмножество <math>\Omega \ </math>. Говорят, что в результате эксперимента ''произошло'' случайное событие <math>A\subset \Omega</math>, если (элементарный) исход эксперимента является элементом <math>A</math>.<br>Требование, что <math>\mathcal{F}</math> является сигма-алгеброй подмножеств <math>\Omega \ </math>, позволяет, в частности, говорить о вероятности случайного события, являющегося объединением счетного числа случайных событий, а также о вероятности дополнения любого события.
= Распределение вероятностей =
= Распределение вероятностей =
 +
''' Закон распределения случайной величины X ''' -- соответствие. которое каждому значению <math>x_l</math> дискретной случайной величины X сопоставляет его вероятность <math>p_l</math>.
 +
'''Распределение вероятностей''' — это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их принятия.
'''Распределение вероятностей''' — это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их принятия.
Строка 58: Строка 66:
= Источники =
= Источники =
http://ru.wikipedia.org
http://ru.wikipedia.org
 +
 +
{{Курс МОТП}}

Текущая версия

Содержание

[править] σ-алгебра

Совокупность A подмножеств множества Ω называется σ-алгеброй:

  • \Omega \in A
  • A_l \in A, l = 1,2, то \Sigma_{l=1}^{\inf}A_l \in A
  • если B \in A, то \overline{B} \in A

[править] Случайный эксперимент

Случайный эксперимент -- это математическая модель соответствующего реального эксперимента, результат которого невозможно точно предсказать.

[править] Случайная величина

Определение случайной величины различно для 2-х случаев: Ω -- счетное или не счетное

Случайная величина -- подмножество исходов случайного эксперимента. При многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности.

Случайная величина — это измеримая функция, заданная на каком-либо вероятностном пространстве.


Случайная величина -- это функция, заданная на пространстве элементарных событий Ω = {ω1,...,ωn}.

[править] Определение

Пусть (\Omega,\mathcal{F}, \mathbb{P}) — вероятностное пространство. Функция X\colon\Omega \to \mathbb{R}, измеримая относительно \mathcal{F} и борелевской σ-алгебры на \mathbb{R}, называется случайной величиной.

Вероятностное поведение случайной величины полностью описывается её распределением.

[править] Определение

Случайной величиной называется функция X = X(ω), заданная на пространстве элементарных событий Ω, для которой событие {X < x} = {ω:X(ω) < x} принадлежит σ-алгебре A для любого вещественного X.

[править] Вероятность

Вероятность (вероятностная мера) — мера достоверности случайного события. Оценкой вероятности события может служить частота его наступления в длительной серии независимых повторений случайного эксперимента]. Согласно определению П. Лапласа мерой вероятности называется дробь, числитель которой есть число всех благоприятных случаев, а знаменатель - число всех возможных случаев.

Вероятность - мера, заданная на измеримом пространстве (Ω, X):

  • Р(Ω)=1
  • Р(А)>=0 для любого A \in X
  • обладает свойством сигма-аддитивности (счетной аддитивности) .

[править] Вероятностное пространство

[править] Определение

Вероятностное пространство — это тройка (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}), где

  • \Omega \ — это произвольное множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками;
  • \mathcal{F} — сигма-алгебра подмножеств \Omega \ , называемых (случайными) событиями;
  • \mathbb{P} — вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что \mathbb{P}(\Omega) = 1.

[править] Замечания

  • Элементарные события (элементы \Omega \ ), по определению, — это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один.
  • Каждое случайное событие (элемент \mathcal{F}) — это подмножество \Omega \ . Говорят, что в результате эксперимента произошло случайное событие A\subset \Omega, если (элементарный) исход эксперимента является элементом A.
    Требование, что \mathcal{F} является сигма-алгеброй подмножеств \Omega \ , позволяет, в частности, говорить о вероятности случайного события, являющегося объединением счетного числа случайных событий, а также о вероятности дополнения любого события.

[править] Распределение вероятностей

Закон распределения случайной величины X -- соответствие. которое каждому значению xl дискретной случайной величины X сопоставляет его вероятность pl.

Распределение вероятностей — это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их принятия.

[править] Определение

Определение Пусть задано вероятностное пространство (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}), и на нём определена случайная величина X:\Omega \to \mathbb{R}. В частности, по определению, X является измеримым отображением измеримого пространства (\Omega, \mathcal{F}) в измеримое пространство (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})), где \mathcal{B}(\mathbb{R}) обозначает борелевскую сигма-алгебру на \mathbb{R}. Тогда случайная величина X индуцирует вероятностную меру \mathbb{P}^X на \mathbb{R} следующим образом:

\mathbb{P}^X(B) = \mathbb{P}(X^{-1}(B)),\; \forall B\in \mathcal{B}(\mathbb{R}).

Мера \mathbb{P}^X называется распределением случайной величины X.

[править] Случайная выборка

Случайной выборкой объема n, отвечающей случайной величине X, c функцией распределения F(x), называется набор n независимых случайных величин X1,X2,...,Xn, каждая из которых имеет распределение F(x)

[править] Источники

http://ru.wikipedia.org

Математические основы теории прогнозирования

Материалы по курсу
Билеты (2009) | Примеры задач (2009) | Примеры задач контрольной работы (2013) | Определения из теории вероятностей

Получено с http://esyr.nizm.ru/wiki/%D0%9E%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%B8%D0%B7_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B8_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9
Личные инструменты
Разделы