Определения из теории вероятностей
Материал из eSyr's wiki.
(→Случайная величина) |
|||
(7 промежуточных версий не показаны.) | |||
Строка 9: | Строка 9: | ||
= Случайная величина = | = Случайная величина = | ||
+ | |||
+ | Определение случайной величины различно для 2-х случаев: <math>\Omega</math> -- счетное или не счетное | ||
+ | |||
'''Случайная величина''' -- подмножество исходов случайного эксперимента. При многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности. | '''Случайная величина''' -- подмножество исходов случайного эксперимента. При многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности. | ||
Строка 18: | Строка 21: | ||
==Определение== | ==Определение== | ||
- | Пусть <math>(\Omega,\mathcal{F}, \mathbb{P})</math> — вероятностное пространство. Функция <math>X\colon\Omega \to \mathbb{R}</math>, | + | Пусть <math>(\Omega,\mathcal{F}, \mathbb{P})</math> — вероятностное пространство. Функция <math>X\colon\Omega \to \mathbb{R}</math>, измеримая относительно <math>\mathcal{F}</math> и борелевской σ-алгебры на <math>\mathbb{R}</math>, называется случайной величиной. |
Вероятностное поведение случайной величины полностью описывается её распределением. | Вероятностное поведение случайной величины полностью описывается её распределением. | ||
+ | |||
+ | ==Определение== | ||
+ | Случайной величиной называется функция <math>X = X(\omega)</math>, заданная на пространстве элементарных событий <math>\Omega</math>, для которой событие {X < x} = <math>\{ \omega: X(\omega) < x \}</math> принадлежит <math>\sigma </math>-алгебре A для любого вещественного X. | ||
= Вероятность = | = Вероятность = | ||
Строка 43: | Строка 49: | ||
* Каждое случайное событие (элемент <math>\mathcal{F}</math>) — это подмножество <math>\Omega \ </math>. Говорят, что в результате эксперимента ''произошло'' случайное событие <math>A\subset \Omega</math>, если (элементарный) исход эксперимента является элементом <math>A</math>.<br>Требование, что <math>\mathcal{F}</math> является сигма-алгеброй подмножеств <math>\Omega \ </math>, позволяет, в частности, говорить о вероятности случайного события, являющегося объединением счетного числа случайных событий, а также о вероятности дополнения любого события. | * Каждое случайное событие (элемент <math>\mathcal{F}</math>) — это подмножество <math>\Omega \ </math>. Говорят, что в результате эксперимента ''произошло'' случайное событие <math>A\subset \Omega</math>, если (элементарный) исход эксперимента является элементом <math>A</math>.<br>Требование, что <math>\mathcal{F}</math> является сигма-алгеброй подмножеств <math>\Omega \ </math>, позволяет, в частности, говорить о вероятности случайного события, являющегося объединением счетного числа случайных событий, а также о вероятности дополнения любого события. | ||
= Распределение вероятностей = | = Распределение вероятностей = | ||
+ | ''' Закон распределения случайной величины X ''' -- соответствие. которое каждому значению <math>x_l</math> дискретной случайной величины X сопоставляет его вероятность <math>p_l</math>. | ||
+ | |||
'''Распределение вероятностей''' — это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их принятия. | '''Распределение вероятностей''' — это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их принятия. | ||
Строка 58: | Строка 66: | ||
= Источники = | = Источники = | ||
http://ru.wikipedia.org | http://ru.wikipedia.org | ||
+ | |||
+ | {{Курс МОТП}} |
Текущая версия
Содержание |
[править] σ-алгебра
Совокупность A подмножеств множества Ω называется σ-алгеброй:
- , то
- если , то
[править] Случайный эксперимент
Случайный эксперимент -- это математическая модель соответствующего реального эксперимента, результат которого невозможно точно предсказать.
[править] Случайная величина
Определение случайной величины различно для 2-х случаев: Ω -- счетное или не счетное
Случайная величина -- подмножество исходов случайного эксперимента. При многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности.
Случайная величина — это измеримая функция, заданная на каком-либо вероятностном пространстве.
Случайная величина -- это функция, заданная на пространстве элементарных событий Ω = {ω1,...,ωn}.
[править] Определение
Пусть — вероятностное пространство. Функция , измеримая относительно и борелевской σ-алгебры на , называется случайной величиной.
Вероятностное поведение случайной величины полностью описывается её распределением.
[править] Определение
Случайной величиной называется функция X = X(ω), заданная на пространстве элементарных событий Ω, для которой событие {X < x} = {ω:X(ω) < x} принадлежит σ-алгебре A для любого вещественного X.
[править] Вероятность
Вероятность (вероятностная мера) — мера достоверности случайного события. Оценкой вероятности события может служить частота его наступления в длительной серии независимых повторений случайного эксперимента]. Согласно определению П. Лапласа мерой вероятности называется дробь, числитель которой есть число всех благоприятных случаев, а знаменатель - число всех возможных случаев.
Вероятность - мера, заданная на измеримом пространстве (Ω, X):
- Р(Ω)=1
- Р(А)>=0 для любого
- обладает свойством сигма-аддитивности (счетной аддитивности) .
[править] Вероятностное пространство
[править] Определение
Вероятностное пространство — это тройка , где
- — это произвольное множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками;
- — сигма-алгебра подмножеств , называемых (случайными) событиями;
- — вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что .
[править] Замечания
- Элементарные события (элементы ), по определению, — это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один.
- Каждое случайное событие (элемент ) — это подмножество . Говорят, что в результате эксперимента произошло случайное событие , если (элементарный) исход эксперимента является элементом A.
Требование, что является сигма-алгеброй подмножеств , позволяет, в частности, говорить о вероятности случайного события, являющегося объединением счетного числа случайных событий, а также о вероятности дополнения любого события.
[править] Распределение вероятностей
Закон распределения случайной величины X -- соответствие. которое каждому значению xl дискретной случайной величины X сопоставляет его вероятность pl.
Распределение вероятностей — это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их принятия.
[править] Определение
Определение Пусть задано вероятностное пространство , и на нём определена случайная величина . В частности, по определению, X является измеримым отображением измеримого пространства в измеримое пространство , где обозначает борелевскую сигма-алгебру на . Тогда случайная величина X индуцирует вероятностную меру на следующим образом:
Мера называется распределением случайной величины X.
[править] Случайная выборка
Случайной выборкой объема n, отвечающей случайной величине X, c функцией распределения F(x), называется набор n независимых случайных величин X1,X2,...,Xn, каждая из которых имеет распределение F(x)
[править] Источники
Математические основы теории прогнозирования
Материалы по курсу
Билеты (2009) | Примеры задач (2009) | Примеры задач контрольной работы (2013) | Определения из теории вероятностей