Определения из теории вероятностей
Материал из eSyr's wiki.
(→<math>\sigma</math>-алгебра) |
(→<math>\sigma</math>-алгебра) |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
= <math>\sigma</math>-алгебра = | = <math>\sigma</math>-алгебра = | ||
- | Совокупность | + | Совокупность A подмножеств множества <math>\omega</math> называется <math>\sigma</math>-алгеброй: |
+ | * <math>\omega \in A</math> | ||
+ | * | ||
+ | * если <math>B \in A</math>, то <math>\overline{B} \in A</math> | ||
= Случайный эксперимент = | = Случайный эксперимент = |
Версия 15:02, 24 мая 2009
Содержание |
σ-алгебра
Совокупность A подмножеств множества ω называется σ-алгеброй:
- если , то
Случайный эксперимент
Случайный эксперимент -- это математическая модель соответствующего реального эксперимента, результат которого невозможно точно предсказать.
Случайная величина
Случайная величина -- подмножество исходов случайного эксперимента. При многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности.
Случайная величина — это измеримая функция, заданная на каком-либо вероятностном пространстве.
Определение
Пусть — вероятностное пространство. Функция , измеримаяотносительно и борелевской σ-алгебры на , называется случайной величиной.
Вероятностное поведение случайной величины полностью описывается её распределением.
Вероятность
Вероятность (вероятностная мера) — мера достоверности случайного события. Оценкой вероятности события может служить частота его наступления в длительной серии независимых повторений случайного эксперимента]. Согласно определению П. Лапласа мерой вероятности называется дробь, числитель которой есть число всех благоприятных случаев, а знаменатель - число всех возможных случаев.
Вероятность - мера, заданная на измеримом пространстве (Ω, X): 1. Р(Ω)=1:
2. Р(А)>=0 для любого А€X;
3. обладает свойством сигма-аддитивности (счетной аддитивности) .
Вероятностное пространство
Определение
Вероятностное пространство — это тройка , где
- — это произвольное множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками;
- — сигма-алгебра подмножеств , называемых (случайными) событиями;
- — вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что .
Замечания
- Элементарные события (элементы ), по определению, — это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один.
- Каждое случайное событие (элемент ) — это подмножество . Говорят, что в результате эксперимента произошло случайное событие , если (элементарный) исход эксперимента является элементом A.
Требование, что является сигма-алгеброй подмножеств , позволяет, в частности, говорить о вероятности случайного события, являющегося объединением счетного числа случайных событий, а также о вероятности дополнения любого события.
Распределение вероятностей
Распределение вероятностей — это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их принятия.
Определение
Определение Пусть задано вероятностное пространство , и на нём определена случайная величина . В частности, по определению, X является измеримым отображением измеримого пространства в измеримое пространство , где обозначает борелевскую сигма-алгебру на . Тогда случайная величина X индуцирует вероятностную меру на следующим образом:
Мера называется распределением случайной величины X.