Определения из теории вероятностей

Материал из eSyr's wiki.

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

σ-алгебра

Совокупность A подмножеств множества Ω называется σ-алгеброй:

  • \Omega \in A
  • A_l \in A, l = 1,2, то \Sigma_{l=1}^{\inf}A_l \in A
  • если B \in A, то \overline{B} \in A

Случайный эксперимент

Случайный эксперимент -- это математическая модель соответствующего реального эксперимента, результат которого невозможно точно предсказать.

Случайная величина

Случайная величина -- подмножество исходов случайного эксперимента. При многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности.

Случайная величина — это измеримая функция, заданная на каком-либо вероятностном пространстве.


Случайная величина -- это функция, заданная на пространстве элементарных событий Ω = {ω1,...,ωn}.

Определение

Пусть (\Omega,\mathcal{F}, \mathbb{P}) — вероятностное пространство. Функция X\colon\Omega \to \mathbb{R}, измеримаяотносительно \mathcal{F} и борелевской σ-алгебры на \mathbb{R}, называется случайной величиной.

Вероятностное поведение случайной величины полностью описывается её распределением.

Вероятность

Вероятность (вероятностная мера) — мера достоверности случайного события. Оценкой вероятности события может служить частота его наступления в длительной серии независимых повторений случайного эксперимента]. Согласно определению П. Лапласа мерой вероятности называется дробь, числитель которой есть число всех благоприятных случаев, а знаменатель - число всех возможных случаев.

Вероятность - мера, заданная на измеримом пространстве (Ω, X):

  • Р(Ω)=1
  • Р(А)>=0 для любого A \in X
  • обладает свойством сигма-аддитивности (счетной аддитивности) .

Вероятностное пространство

Определение

Вероятностное пространство — это тройка (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}), где

  • \Omega \ — это произвольное множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками;
  • \mathcal{F} — сигма-алгебра подмножеств \Omega \ , называемых (случайными) событиями;
  • \mathbb{P} — вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что \mathbb{P}(\Omega) = 1.

Замечания

  • Элементарные события (элементы \Omega \ ), по определению, — это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один.
  • Каждое случайное событие (элемент \mathcal{F}) — это подмножество \Omega \ . Говорят, что в результате эксперимента произошло случайное событие A\subset \Omega, если (элементарный) исход эксперимента является элементом A.
    Требование, что \mathcal{F} является сигма-алгеброй подмножеств \Omega \ , позволяет, в частности, говорить о вероятности случайного события, являющегося объединением счетного числа случайных событий, а также о вероятности дополнения любого события.

Распределение вероятностей

Закон распределения случайной величины X -- соответствие. которое каждому значению xl дискретной случайной величины X сопоставляет его вероятность pl.

Распределение вероятностей — это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их принятия.

Определение

Определение Пусть задано вероятностное пространство (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}), и на нём определена случайная величина X:\Omega \to \mathbb{R}. В частности, по определению, X является измеримым отображением измеримого пространства (\Omega, \mathcal{F}) в измеримое пространство (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})), где \mathcal{B}(\mathbb{R}) обозначает борелевскую сигма-алгебру на \mathbb{R}. Тогда случайная величина X индуцирует вероятностную меру \mathbb{P}^X на \mathbb{R} следующим образом:

\mathbb{P}^X(B) = \mathbb{P}(X^{-1}(B)),\; \forall B\in \mathcal{B}(\mathbb{R}).

Мера \mathbb{P}^X называется распределением случайной величины X.

Случайная выборка

Случайной выборкой объема n, отвечающей случайной величине X, c функцией распределения F(x), называется набор n независимых случайных величин X1,X2,...,Xn, каждая из которых имеет распределение F(x)

Источники

http://ru.wikipedia.org

Получено с http://esyr.nizm.ru/wiki/%D0%9E%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%B8%D0%B7_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B8_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9
Личные инструменты
Разделы