Функциональный Анализ, 05 лекция (от 05 октября)

Материал из eSyr's wiki.

Предыдущая лекция | Следующая лекция

пункт 2.

Теорема 5. Пусть f(x) --- суммируемая неотрицательная функция на множестве E конечной меры и интеграл от f(x) по dx равняется 0. Тогда f(x) ~ 0.

Доказательство. Фактически, нужно доказать, что |E[f(x) > 0]| = 0. Сначала, покажем ∀a |E[f(x) > a]| = 0. &integral;_e f(x)dx ≥ &integral;_E_a f(x)dx ≥ a|E_a|, |E_a| ≤ 1/a &integral;_E f(x)dx. Противоречие, значит это так.

E[f(x) > 0] = ∪_n=1^∞ E[f(x) > 1/n]. Тогда |E[f(x) > 0]| ≤ ∑_n=1^∞|E[f(x) > 1/n]| = 0

Теорема 6 (мажорантный признак). Пусть даны двефункции, удовл отношению 0 ≤ f_1(x) ≤ f_2(x) для почти всех x ∈ E, |E| < +∞. Тогда, если f_2 --- сумируемая, то и f_1 --- суммируемая.

Доказательство. Дело в том, что для срезов выполняется f_1N(x) ≤ f_2N(x) → &integral;_E f_1Ndx ≤ &integral;_e f_2Ndx ≤ &integral;_E f_2 dx

пункт 3. Интеграл Лебега от функции любого знака на множестве конечной меры

• f^+(x) = (|f(x)| + f(x)^−)/2
• f^− = (|f(x)| − f(x))/2

Определение 3. Если f^+ и f^− сумимируемы на E, то и f суммируема на E, и интеграл Лебега оперделяется как &integral;_e f(x)dx = &integral;_e f^+(x)dx − &integral;_e f^−(x)dx.

Замечание 1. Для того, чтобы ф-ция была сумм. на E, необх и достаточно, чтобы |f| была суммируема на Е. То есть, условной сходимости нет.

Докахательство. Пусть f сумиируема на Е, тогда + и минус суммируемы, а модуль --- иху сумма. В обратную сторону, если модуль суммируем, то каждая из функций не больше модуля → суммируема.

Простой пример, когда спрашивают, понимает ли человек, что такое сказано в замечании, что нет усл. сх-ти. Вопрос: интегрируема по Лебегу f(x) = 1/x sin(x) на E = (0, 1). Если 1/x заменим на t, то получим &integral;_0:1 1.ч ышт 1.ч вч = &integral;_1^+infin; sin t/t dt. По признаку Абеля инт. сходится. Но модуль не сх. → функция не явл. интегрируемой по Лебегу.

Замечание 2. Свойства интеграла 2---5 также имеют место.

Замечание 3. Теорема о полной аддитивности инт. Лебега тоже имеет место, единственное, нужно требовать сходимость ряда, в котором стоят модули интеграла. А теорема об абс. непрерывности тоже верна, только там надо написать модуль интеграла.

Здесь размерность не играет никакой роли. В принципе, можно было управляться с инт. методом Даниэля, если не хотим управляться с теорией меры, когда вводим множество меры 0, и дальше всё через него.

Были анекдотитческие случаи, когда один учебник выдержал 4 издания, в котором не были введены f^+ и f^-, и там практически все утверждения были неверны. Так что, медаль на груди --- не значит, что герой.

Теперь по классам.

Определение 4. Пусть E имеет конечную меру. Совокупность всех интегрируемых на этом монжестве меры обозначим L(E) = L_1(E). Говорят, что посл. функций f_n ∈ L(E) сходится к f(x) ∈ L(E) в L(E), если &integral;_E|f_n(x) − f(x)| dx → 0 (n → ∞).

В этой сходимости важно другое. Понятно, что из мажорантного признака вытекает, что, написав это неравенство: |&integral;_Ef_n(x) − &integral;_E f(x)| dx ≤ &integral;_E|f_n(x) − f(x)| dx видно, что можно знак менять местами(? о_О).

Опбозначим E_N = [|f_n(x) − f(x) ≥ ε|]

Тогда &integral;_E|f_n(x) − f(x)| dx ≥ &integral;_E_n|f_n(x) − f(x)| dx *ge; ε|E_n|. Отсюда --- из сходимости в L(Е) следует сходимость по мере. Обратное утв., вообще-говоря, неверно. Пример: f_n(x) = {n, x ∈ [0, 1/n]$ 0, x ∈ (1/n; 1]}. f(x) = 0. Очевидно, что по мере f_n(x) сходимость есть. И понятно, что |E[f_n(x) ≠ f(x)]| = 1/n → 0 и сходимость есть, но интеграл равен 1 и сходимости нет.

Возникает вопрос, при каком допусловии возможно, что из сходимости по мере получить сходимость в L(E). Это и раскрывает теорема 7 (Лебега)

Теорема 7 (Лебега). Пусть E --- измеримое множество конечной меры. Пусть f_n(x) и f(x) --- измеримые, почти всюду конечные функции на E. Пусть f_n(x) сходится к f(x) по мере, и пусть существует для почти всех x ∈ E неотр. функция F(x) такая, что |f_n(x)| ≤ F(x). Тогда f_n(x) сходится к f(x) L(E)

&integral;_E F(x) dx существует → f_n(x) → f(x) в L(E)

Доказательство. Из теоремы 6 параграфа 3 f_n_k(x) → f(x) (почти всюду). Тогда f_n_k(x) ≤ F(x)| эквивалентно |f(x)| ≤ F(x).

Кроме того, лектор хочет заметить, что |f_n(x) − f(x)| ≤ 2F(x).

Рассмотрим интеграл &integral;_E |f_n(x) − f(x)| dx = &integral;_E_n |f_n(x) − f(x)| dx + &integral;_E\E_n |f_n(x) − f(x)| dx ≤ 2 &integral;_E_n F(x)dx {→ 0} + ε|E| < C_1 × ε при n → ∞

Напоследок, теорема Леви, но не того Леви, которы придумал джинсы.

Теорема 8 (Леви)

Полцарства за Леви. Последний раз лектор купил джинсы Леви в Америке в 2002 году за 30 баксов. Это были самые дорогие джинсы. Когда лектор зашёл в наш магазин и увидел польское фуфло с надписью Леви, он полнял, что здесь больше ничего покупать не стоит.

Пусть есть множество конечной меры. Последовательность f_n(x) состоит из суммируемых функций, для которых почти всюду выполняется неравенство f_n(x) ≤ f_n+1 (x) и |&integral;_E f_n(x)dx| ≤ M = const. Отсюда следует, что существует почти всюду предел f(x) = lim_n → ∞ f_n(x), который явл. суммируемой на E функцией, и f_n(x) → f(x) Доказательство. Предел гарантирова монотонностью. Теперь достаточно доказать суммируемость, чтобы завершить доказательство. Так как суммируема → конечна → (по теореме 5) сходимость по мере → (по теореме 7) сходимость в L(E).

Можем считать f_n(x) ≤ 0. Если это не так, то рассмотрим g_n(x) = f_n(x) − f_1(x). Мажорантой будет выступать f(x). Раз посл. монотонно неубывающая, то получится, что и интегралы будут удовл. неравенству |&integral;_E f_n(x)dx| ≤ |&integral;_E f(x)dx|.

Рассмотрим последовательность срезов f_nN(x) →(почти всюду) f_n(x). Тогда lim_n→∞ |&integral;_E f_nN(x)dx| → |&integral;_E f_N(x)dx|. Кроме того, f_nN(x) ≤ f_n(x). Тогда получаем, что интеграл |&integral;_E f_nТ(x)dx| ≤ |&integral;_E f_n(x)dx| ≤ M. Отсюда |&integral;_E f_Т(x)dx| ≤ M. Отсюда чтд.

Знак в теореме не играет роли (либо монот. возр., либо монот. убыв.).

Следствие из теоремы для рядов. Пусть на E конечной меры множество u_k(x) ≥ 0 почти всюду и суммиируема. Если почти всюду сходится ряд ∑_k=1^∞ &integral;_e u_k(x) dx → S(x) = ∑_k=1^∞ u_k(x) и ряд можно интегрировать почленно.

Доказательство: f_n(x) = S_n = ∑_k=1^n u_k(x)

Теорема 9 (теорема Фату)

Я сначала написал «теорема Фаты». В пятницу шёл дождь жуткий, лектор пошёл через смотровую, а там место тусования молодожёнов, и эти мокрые курицы в тюле постоянно там тусуются...

Пройдёт 100 лёт, и будут считать, что язык Паскаль изобрёл Блез Паскаль, что он учился на ВМК, и студентка, доживущая до 120 лет будет рассказывать, что знакома с ним лично и давала ему списывать.

Есть мн-фо конечной меры E, f_n(x) → (почти всюду) f(x) на Е и &integral_e |f_n(x)|dx ≤ A. Практически теорема Леви, только ограниченность интегралов по модулю. Тогда f(x) суммируема и &integral_E |f(x)| dx ∈ A.

Доказательство. g_n(x) = inf_k≥n |f_n(x)|, g_n(x) ≤ |f_n(x)|, &integral_E g_n(x) dx ≤ A, g_n(x) → |f(x)|, отсюда g_n(x) → (L(E)) |f(x)|, отсюда &integral;_E |f(x)| dx ∈ A.

Теорема 10 (Лебега). Для того, чтобы ограниченная f(x) на измеримом мн-ве конечной меры была интегрируема по Лебегу, необх. и достаточно, чтобы она была измеримой.

Док-во. Достаточность доказана в Т.2. Докажем необходимость.

Построим последовательность разбиений T^(n) = {E_k^(n)}_k=1^m(n), каждое посл. разбиение будет измельчением предыдущего. M_k^n = sup_E_k^(n) f(x), m_k^n = inf_E_k^(n) f(x), _f_n(x) = M_k^(n) на E_k^(n), f__n(x) = m_k^(n) на E_k^(n), S_n = &integral;_E _f_n(x)dx, S_n = &integral;_E f__n(x)dx, 0 ≤ S_n − s_n < 1/n, f__n(x) ≤ f(x) ≤ _f_n(x), lim_n→∞ &integral;_E _f_n(x)dx = lim_n→∞ &integral;_E f__n(x)dx = &integral;_E f(x)dx, и тогда 0 = lim_n→∞ [&integral;_E _f_n(x)dx − &integral;_E f_n(x)dx] = &integral;_E _f_(x)dx − &integral;_E f__(x)dx = &integral;_E |_f_(x) − f__(x)| dx = 0

...

отсуда f(x) также измеримая функция, чтд.

Пункт 4. Интеграл Лебега от измеримой функции на произвольном измеримом множестве.

Пусть E --- произвольное изм. множество. Определим исчерпывающую последовательность для E следующим образом:

• x_n ∈ x_n+1
• |x_n| < ∞
• ∪_n=1^∞ x_n = E

Пусть функция измерима для каждого множества из исчерпывающей последовательности E, и пусть существует предел lim_n→∞ &integral;_x_n f(x)dx = &integral;_E f(x)dx. Тогда функция называется интегрируемой на E, и предел --- несобственный интеграл Лебега первого рода.

Пункт 5. Теорема Фубини

Будет сформулирована без доказательства. Лектор расскажет её на прямоугольнике (хотя можно и на н-мерном параллелепипеде)

Пусть П = {(x, y): a ≤ X ≤ b, c &lr; y ≤ d}

Теорема 11 (Фубини)/ Пусть функция суммируема на прямоугольнике. Тогда для пости всех y ∈ [c, d] существует интеграл от a до b f(x, y) по dx. Аналогично для x и y. Кроме того, &integral;&integral;_П f(x, y) dxdy = &integral;_a^b dx &integral;_c^d f(x, y) dy = &integral;_c^d dy &integral;_a^b f(x, y) dx.

Доказательство. Это теорема легко доказывается, если есть Даниэль.

Обратная к теореме неверно: возьмём f(x, y) = xy / (x^2 + y^2)^2 x^2 + y^2 ≠ 0; 0, x=y=0 на квадрате [-1; 1] × [1; 1]. Тогда интеграл по x равен 0, по y --- 0. Сама же функция не суммируема на квадрате.

Тем не менее, если хотя бы один из повторных интегралов от модуля существует, то есть другой и справедлива теорема Фубини.

Теперь всё, необх. к функану, рассказано, и на след. лекции будет функан.