Функциональный Анализ, 09 лекция (от 02 ноября)
Материал из eSyr's wiki.
(Различия между версиями)
(Отмена правки № 1342 участника 88.191.68.198 (обсуждение)) |
|||
Строка 1: | Строка 1: | ||
- | == | + | == Непрерывность линейного оператора == |
- | + | ||
- | + | Определение 3. Оператор А, действующий из линейного норм. пр-ва X в лин. норм. пр-во Y, если для всех x ∈ X выполняется неравенство ||Ax||_Y ≤ M||x||_X. | |
- | + | ||
+ | Теорема 2. Для того, что бы А из X в Y был ограниченным, н. и .д., чтобы он был ограниченным. | ||
+ | |||
+ | Доказательство. Необходимость: пусть существует пространство, в котором ∃ {x_n}: ||Ax||_Y ≥ n||x_n||_X. Пусть x_n ≠ 0. Возьмём,ξ_n = x_n / n ||x_n||, тогда ||ξ_n|| = 1/n → 0, ||Aξn|| = ||Ax_n||/n||x_n|| ≥ 1 → перечёркнуто 0. | ||
+ | |||
+ | Достаточно. ||Ax_n − Ax_0|| = ||A(x_n − x_0)|| ≤ M||(x_n − x_0)|| | ||
+ | |||
+ | отсюда чтд. | ||
+ | |||
+ | ||A|| = sup_x ≠ 0 ||Ax||/||x|| |
Текущая версия
[править] Непрерывность линейного оператора
Определение 3. Оператор А, действующий из линейного норм. пр-ва X в лин. норм. пр-во Y, если для всех x ∈ X выполняется неравенство ||Ax||_Y ≤ M||x||_X.
Теорема 2. Для того, что бы А из X в Y был ограниченным, н. и .д., чтобы он был ограниченным.
Доказательство. Необходимость: пусть существует пространство, в котором ∃ {x_n}: ||Ax||_Y ≥ n||x_n||_X. Пусть x_n ≠ 0. Возьмём,ξ_n = x_n / n ||x_n||, тогда ||ξ_n|| = 1/n → 0, ||Aξn|| = ||Ax_n||/n||x_n|| ≥ 1 → перечёркнуто 0.
Достаточно. ||Ax_n − Ax_0|| = ||A(x_n − x_0)|| ≤ M||(x_n − x_0)||
отсюда чтд.
||A|| = sup_x ≠ 0 ||Ax||/||x||