История математики, теоретический минимум
Материал из eSyr's wiki.
Главные достижения и основные черты математики Древнего Египта
wikipedia:ru:Математика в Древнем Египте
Древний Египет. Что они умели: арифметика, например, 10х12=24+96=120. Использовали дроби? Использовали, но только вида 1/n. Была таблица для представления дробей вида 2/n, как сумму аликвтных дробей. Были как особые 2/3 и 3/4. Как они записывали сумму дробей: 1/2 1/5 1/7 Что умели в геометрии? Считать площадь треугольника, прямоугольника, трапеции, круга. Площадь круга --- 8/9 d^2. Умели вычислять объём цилиндра, объём усечённого конуса. Есть задачи на сумму геометрической прогрессии. Задача на пропорциональное деление. Основные результаты лектор перечислил. Математика носила прикладной, а не алгоритмический характер. Ещё одно достижение --- ритуальные сооружения, пирамиды.
Имеется два основных источника о состоянии математики в древнем Египте: Лондонский папирус, содержащий 84 задачи и Московский папирус с 25 задачами. Лондонский папирус, известный еще как папирус Ринда (по имени открывшего его ученого) был написан около 1650 г. до н.э. и хранится в Британском музее. Московский папирус написан примерно двумя столетиями раньше. Он был расшифрован в 30-е годы XX века русским академиком В.В.Струве и хранится в Музее изобразительных искусств им. А.С.Пушкина. Изложенная в папирусах математика основана на десятичной иероглифической системе. Каждая десятичная единица более высокого разряда обозначалась своим иероглифом. Нам известна римская система, основанная на том же принципе. Здесь узловые числа суть
- I, V, X, L, C, D, M (1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000).
Остальные числа образуются приписыванием с той или другой стороны от узлового числа других узловых чисел и повторением их. На этой системе египтянами построена довольно сложная арифметика. Умножение здесь сводится к повторным сложениям. Замечательной чертой является действие с дробями. Все дроби сводятся к суммам основных дробей 1/n и некоторых индивидуальных, например, 2/3, 3/4. Это делается на основе таблиц разложения дробей вида 2/n (n = 3-101). Египтяне знали площадь треугольника - половина произведения основания на высоту, объем параллелепипеда, кругового цилиндра. Замечательный результат - объем усеченной пирамиды с квадратным основанием где а, b - длины сторон квадратов, h - высота. Площади круга диаметра d вычислялась как что дает для p значение 3.1605.
Главные достижения и основные черты математики Древнего Вавилона
wikipedia:ru:Вавилонская математика
Примерно в то же время, что и в Египте возникает второй очаг цивилизации в долине рек Тигр и Евфрат. Среднюю и южную часть равнины назвали Месопотамией (Междуречье) - это примерно современный Ирак. Южнее современного Багдада приблизительно с ХХ века до VI века до н.э. существовало рабовладельческое государство Вавилония со столицей Вавилон возле Багдада. До нас дошло примерно 200 дощечек с таблицами без текста и 50 табличек с математическими текстами. Математика в древнем Вавилоне была на более высоком уровне чем в Египте. Вавилоняне имели более прогрессивную позиционную 60-ричную систему счисления. Такая система имеет огромное преимущество при вычислениях по сравнению с римскими цифрами. Однако эта система не имела нуля, что приводило к некоторой неопределенности, и точное истолкование записи надо было извлекать из контекста. Шестидесятиричная система и позиционность оказались достоянием человечества. Современное деление часа на 60 минут и 3600 секунд восходит к Вавилону. Это же относится к делению окружности на 360 градусов, градуса на 60 минут, минуты на 60 секунд. Что касается авторства позиционности системы, то здесь не все ясно. Возможно это изобретение Индии, где десятичная позиционная система с нулем появилась около 500 года до н.э. В Вавилоне владели техникой решения квадратных уравнений, тогда как египтянам были известны лишь линейные. Решали также задачи, сводящиеся к кубическим и биквадратным уравнениям. Такие задачи они формулировали только для определенных числовых значений коэффициентов. Ван дер Варден в книге “Пробуждающаяся наука” указывает, что вавилоняне умели решать 10 видов уравнений и систем: ax=b, ax^2=b, x^3=a, x^2*(x+1)=a, а также системы уравнений. В Египте такого не было.
Кроме того они умели находить сумму арифметической прогрессии и суммы других видов, например,
или 
Геометрические представления вавилонян. У них есть таблица пифагоровых чисел. Теорему Пифагора в чистом виде не знали, но на таблице есть. Умели вычислять зачатки выч. углов и тригонометрических соотношений. Вычисляли площади и объёмы прямолинейных фигур. Для площади круга была формула: c^2/12, где c --- длина окружности. Отсюда π=3. Есть основания полагать, что в Вавилоне была известна теорема Пифагора.
Встречались следующие задачи: через какое время удвоится сумма, выданная под 20 процентов годовых.
Главные достижения и основные черты математики Древней Греции. Переход в математике от вопроса «как?» к вопросу «почему?»
wikipedia:ru:Математика в Древней Греции
Постепенно сошла на нет значимость цивилизации Египта, Вавилона, и постепенно центр тяжести науки, культуры, развития цивилизации перемещался в Европу. К VII веку до н.э. Греция состояла из совокупности государств - полисов (городов), ведущих оживленную торговлю между собой и соседними государствами. Обычно это называется чудом Древней Греции. В это время в Греции высокого уровня достигли культура (напр. архитектура и скульптура), техника, наука. Большое развитие получила философия, астрономия, математика. Надежных источников, описывающих ранний период развития греческой математики нет. Однако наука располагает изданиями великих античных математиков: Евклида, Архимеда, Аполлония, живших позднее ( IV - II в. до н.э.).
Греки сумели в течение одного - двух столетий овладеть математическим наследием предшественников, которое накапливалось тысячелетиями, и по-новому его осмыслить. Что характерно для этого периода? Древние греки создали основы того, что сейчас называется элементарная математика. Что этому способствовало? Прежде всего, переход от бронзы к железу, развитие ремёсел, производства, потом появились деньги, что в значительной степени способствовало торговле, обмену. Не последнюю роль играл более удобный алфавит. Развитие алфавита --- возможность перемещения, обмена.
Характерной чертой греческой математики, в отличие от Египта и стран Востока, является стремление доказывать математические факты. С чьими именами связываем первые серьёзные достижения? Документально --- Фалес Милетский 624---547 год до н.э. Он многим удивлял своих современником. Вообще говоря, это был философ. Тогда не было понятия философ или биолог или астроном, и занимались всем интересным. Считал, что главное --- вода. Предсказал затмение, Вычислял высоту пирамиды по тени. Что самое главное: он формулировал математические утверждения и их доказывал. Вот в чём принципиальное отличие математики Древней Греции --- они отвечали не только на вопрос как, но и почему. Какие факты формализовывал и доказывал он:
- Диаметр делит круг пополам
- Вертикальные углы равны
- В равнобедренном треугольнике углы равны
- (Треугольники с равной стороной?) равны по двум углам
- Теорема Фалеса
Вот какие важные факты сформулировал и доказал он в 6 в. до н.э. Например, Фалес умел вычислить расстояние до корабля от берега. Хотел построить тоннель через гору Кастор. Что надо было сделть: в определённом месте начать рыть тоннель и в определённом месте выйти.
В математике этого периода практические задачи, связанные с вычислениями, геометрическими измерениями и построениями, продолжали играть большую роль. Эти задачи постепенно выделились в отдельную область математики, названную логистикой. Она включала операции с целыми числами и дробями, решение задач, сводящихся к уравнениям 1-й и 2-й степени, практические задачи архитектуры, земледелия и т.п.
Далее --- школа Пифагора Самосского. Это то, что уже считается классикой.
В то же время уже в школе Пифагора (580 - 500 г. до н.э.) начинается процесс накопления и систематизации абстрактных математических фактов. Пифагорийцы не признавали прикладного характера математики. Будучи аристократами они считали, что решение практических задач - удел лишь низших сословий.
Прежде всего, Пифагор искал основу всего сущего, и он считал таковой основой число. Не только чётные и нечётные, но и совершенные, дружественные (сумма делителей одного равна другому и наоборот, напр. 220 и 284). Пифагор обожествлял эти понятия и представления. И он считал, что с числами могут общаться только избранные. Какие ещё были числа: треугольные, квадратные.
Пифагорийцами была построена значительная часть планиметрии прямолинейных фигур, доказана теорема Пифагора (она получила имя основателя греческой школы, хотя была известна значительно раньше в Вавилоне). Был найден способ отыскания целых пифагоровых чисел, удовлетворяющих соотношению a2 + b2 = c2 : для нечетных n они имеют вид
Для четных n пифагоровы числа были получены позже в Академии знаменитого греческого философа Платона (427 - 347 г до н.э.) и равны
Из арифметики была выделена в отдельную область теория чисел - все, что относится к общим свойствам операций с натуральными числами. Целые числа представлялись основополагающими универсальными объектами, к операциям с которыми должны сводится и все математические построения, и вообще все многообразие явлений действительности. “Все есть число и все из чисел” - руководящий принцип пифагорийцев. Из этого принципа следовало, что отношения между любыми количествами должны быть отношениями целых чисел (т.е. рациональными числами в современной терминологии).
Этому обожествлению целых чисел был нанесен сокрушительный удар самими же пифагорийцами. Оказалось, что отношение диагонали квадрата к его стороне ( равное 
) не является рациональным числом, т.е. отношением целых чисел. Этот факт был доказан путем сведения к противоречию. Действительно, пусть 
где p и q - взаимно простые. Тогда p2 = 2q2 и p - четное, а, значит, q - нечетное. Но из того, что p = 2r следует q2 = 2r2 , т.е. q2 , а следовательно и q четные.
Это был, по сути, первый кризис в математике. В то время еще не было предпосылок разрешить его, расширив понятие числа вводом иррациональностей. Осознав, что совокупность геометрических величин более полна, чем множество рациональных чисел, греки создали исчисление в геометрической форме. Новое исчисление получило в литературе название геометрической алгебры.
В греческой математике возникла еще одна трудность, связанная с понятием бесконечности. Математики понимали, что за целым числом N следует целое число N+1, затем N+2 и так далее до бесконечности. К бесконечным процессам приводил и метод исчерпывания (предела), о котором речь будет идти ниже. Эта концепция была важным достижением, однако противоречила всем имеющимся тогда данным физики и философским воззрениям о конечности Вселенной. Она открывала новые широкие возможности в математике, но приводила к парадоксам. Смысл понятия бесконечности и до сих пор не раскрыт до конца, однако в течение веков на многие вопросы, возникающие в связи с этим понятием получен ответ. Еще одна трудность связана с тем, что греки не знали отрицательных чисел. Они имели дело с отрицательными числами только в терминах алгебраических выражений для площадей квадратов и прямоугольников, например, квадрат раности. Отрицательные числа впервые использовались, по видимому, китайцами, однако окончательно вошли в математику после работ Кардано в 1545 году.
Демокрит считал, что все тела состоят из атомов. Первым рассмотрел стереометрию.
Евдокс Метод исчерпывания - чтобы измерить площадь фигуры, надо последовательно вписывать аппроксимирующие фигуры (существование – через построение, единственность не рассматривалась).
Платон (437-347 до нэ) - геометрия, стереометрия, идея предельного перехода.
Аристотель (384-322 до нэ) - любое движение может быть получено по окружности и прямой. Достижения в логике(аналогия, дедукция, индукция).
Архимед (287-212 до нэ)- "Эврика!" (закон Архимеда), оборона Сиракуз: войны, вставшие параболой и поджегшие корабль, всякие военные машины и чертежи на песке. Достижения - линии, круг, площади методами в духе интегралов, оценки значения пи через периметры правильных многоугольников, теорема о промежуточных значениях непрерывной функции, площади и объемы фигур через суммы Дарбу - главный результат (на своей могиле Архимед завещал выбить шар, вписанный в цилиндр). Трактат о количестве песчинок во Вселенной. Два достижения греческой математики далеко пережили своих творцов:
- греки построили математику как целостную науку с собственной методологией, основанной на чётко сформулированных законах логики (гарантирующих истинность выводов при условии, что истинны предпосылки).
- они провозгласили, что законы природы постижимы для человеческого разума, и математические модели — ключ к их познанию.
«Начала» Евклида
Нормальная статья на ру-википедии
Одним из первых крупных ученых, связанных с Александрией, был Евклид, живший около 300 г. Ничего, кроме научных трудов, о его биографии не известно. Евклид - один из наиболее влиятельных математиков всех времен. Наиболее знаменитое его произведение “Начала”. Это первое значительное произведение, дошедшее до нас полностью. В истории Западного мира это, по-видимому, второе после Библии произведение по числу изданий. После изобретения книгопечатания (в Европе в XV веке) оно издавалось более 1000 раз. Большая часть школьной геометрии заимствована из “Начал”. Логическое построение “Начал” повлияло на научное мышление больше, чем какое-либо иное произведение. Оно основывается на строго логическом выводе теорем из системы определений, постулатов и аксиом.
“Начала” состоят из 13 книг. В первых четырех книгах рассматривается геометрия на плоскости. В 5-ой и 6-ой книгах изложена теория отношений Евдокса и применена к подобию треугольников. Книги 7-9 посвящены теории чисел (теория делимости, алгоритм Евклида, теория простых чисел). В 10-й книге дана геометрическая классификация квадратичных и биквадратичных иррациональностей, т.е. чисел вида 
. В последних трех книгах излагается геометрия в пространстве. Изложение завершается изучением правильных многогранников: тетраэдра(4 грани), куба (6), октаэдра (8), додэкаэдра (12) и икосаэдра (20). Доказывается, что их только пять. Они получили название платоновых тел и имели основополагаюшее значенние в космологии школы Платона.
Таким образом, в “Началах” систематизированы и строго изложены результаты, полученные математикой к III веку до н.э., включающие три важнейших открытия математики древности: теорию отношений Евдокса, теорию иррациональных Теэтета и терию пяти правильных тел.
Остановимся специально на аксиоматике “Начал”. Греки уже владели несколькими явными и несомненными истинами окружающего мира, такими как: две точки определяют прямую, прямую можно продолжить неограниченно в обе стороны, прямые углы равны, если к равным прибавить равные, получим снова равные. Эти аксиомы вошли в число аксиом и постулатов “Начал”, из которых Евклид вывел около 500 теорем. Особое место занимает аксиома о параллельных, согласно которой через точку вне заданной прямой можно провести одну и только одну прямую, параллельную ей. Эта аксиома не поддается проверке опытом. Многие ученые делали попытку доказать ее как теорему, исходя из остальных девяти аксиом Евклида, но безуспешно. Лишь в XIX веке это утверждение было окончательно признано аксиомой.
Математика Ближнего Востока (IX-XVв.)
wikipedia:ru:Математика исламского средневековья
Арабы
Математика Востока, в отличие от древнегреческой математики, всегда носила более практичный характер. Соответственно наибольшее значение имели вычислительные и измерительные аспекты. Основными областями применения математики были торговля, ремесло, строительство, география, астрономия, механика, оптика.
В целом, эпоха исламской цивилизации в математических науках может быть охарактеризована не как эпоха поиска новых знаний, но — как эпоха передачи и улучшения знаний, полученных от греческих математиков. Типичные сочинения авторов этой эпохи, дошедшие до нас в большом количестве — это комментарии к трудам предшествеников и учебные курсы по арифметике, алгебре, сферической тригонометрии и астрономии. Некоторые математики стран ислама виртуозно владели классическими методами Архимеда и Аполлония, но новых результатов получено немного.
Арабская нумерация вначале была буквенной и, видимо, она финикийско-еврейского происхождения. Но с VIII века багдадская школа предложила индийскую позиционную систему, которая и прижилась.
Дроби в арабской математике, в отличие от теоретической арифметики древних греков, считались такими же числами, как и натуральные числа. Записывали их вертикально, как индийцы; черта дроби появилась около 1200 года. Наряду с привычными дробями в быту традиционно использовали разложение на египетские аликвотные дроби (вида 1/n), а в астрономии — 60-ричные вавилонские. Попытки ввести десятичные дроби делались, начиная с X века (ал-Уклидиси), однако дело продвигалось медленно. Только в XV веке ал-Каши изложил их полную теорию, после чего они получили некоторое распространение в Турции. В Европе первый набросок арифметики десятичных дробей появился раньше (XIV век, Иммануил Бонфис из Тараскона), но победоносное их шествие началось в 1585 году (Симон Стевин).
Понятия отрицательного числа в исламской математике в целом выработано не было. Некоторым исключением стала книга «Мухаммедов трактат по арифметике» ал-Кушчи (XV век). Ал-Кушчи мог познакомиться с этой идеей, будучи в молодости послом Улугбека в Китае. Перевод этой книги на латинский впервые в Европе содержал термины positivus и negativus (положительный и отрицательный).
Аль-Хорезми: возникновение рецептов в виде алгоритмов. Алгебраический трактат. Решение различных квадратных уравнений с положительными коэффициентами (достигается перебрасыванием в соответствующую часть для смены знака). Написал трактат об индийских числах, работал в десятичной и шестидесятеричной системах счисления.
Омар Хайям (1043--1123): поэт-математик. "Алгебра - наука об уравнениях". Пытался искать решения уравнений третьей степени в виде общих точек конических сечений. Делал попытки доказать пятый постулат Евклида.
Насиред-дин: построил первую систему плоской и сферической тригонометрии. Тоже пытался доказать пятый постулат.
Улугбек (1394--1449), правитель Самарканда. Много внимания уделял науке. Построил в Самарканде обсерваторию и медресе (университет). Составил таблицу синусов (точнее, хорд) с точностью до девятого знака и с шагом в одну минуту.
Аль-Каши (XIII в.) Итерационные решения уравнений 2 степени. В «Трактате об окружности» ал-Каши вычисляет длину окружности по рецепту Архимеда — как среднее арифметическое между периметрами вписанного и описанного правильных многоугольников с числом сторон 3*2^28. Это дало ему приближение π = 3,14159265358979325, где неверна только последняя цифра 5, которую следовало бы заменить на 4.
Индия
wikipedia:ru:История математики в Индии
Индийская нумерация изначально была изысканной. В санскрите были средства для именования чисел до 1050. Для цифр сначала использовалась сиро-финикийская система, а с VI века до н. э. — написание «брахми», с отдельными знаками для цифр 1-9. Несколько видоизменившись, эти значки стали современными цифрами, которые мы называем арабскими, а сами арабы — индийскими.
Около 500 г. н. э. неизвестный нам великий индийский математик изобрёл новую систему записи чисел — десятичную позиционную систему. В ней выполнение арифметических действий оказалось неизмеримо проще, чем в старых, с неуклюжими буквенными кодами, как у греков, или шестидесятиричных, как у вавилонян. В дальнейшем индийцы использовали счётные доски, приспособленные к позиционной записи. Они разработали полные алгоритмы всех арифметических операций, включая извлечение квадратных и кубических корней.
К V—VI векам относятся труды Ариабхаты, выдающегося индийского математика и астронома. В его труде «Ариабхатиам» встречается множество решений вычислительных задач. В VII веке работал другой известный индийский математик и астроном, Брахмагупта. В нём изложены учение об арифметической прогрессии (известное правило её суммирования) и решение квадратных уравнений, имеющих действительное решение.
Наибольшего успеха средневековые индийские математики добились в области теории чисел и численных методов. Использовали отрицательные числа (как долг). Комбинаторика. Суммирование рядов. Тригонометрия. В алгебре - еще один шаг к обобщению уравнений.
Первые инструменты для счёта - абаки
Абак — счётная доска, применявшаяся для арифметических вычислений приблизительно с IV века до н. э. в Древней Греции, Древнем Риме. Доска абака была разделена линиями на полосы, счёт осуществлялся с помощью размещённых на полосах камней или других подобных предметов.
Впервые появился, вероятно, в Древнем Вавилоне ок. 3 тыс. до н. э. Первоначально представлял собой доску, разграфлённую на полосы или со сделанными углублениями, обозначавшими порядки шестидесятиричной системы счисления. Счётные марки (камешки, косточки) передвигались по линиям или углублениям. В 5 в. до н. э. в Египте вместо линий и углублений стали использовать палочки и проволоку с нанизанными камешками.
Ацтекские счёты возникли приблизительно в X веке и изготавливались из зёрен кукурузы, нанизанных на струны, установленные в деревянной раме.
В Европе абак применялся до XVIII века. В Средние века сторонники производства арифметических вычислений исключительно при помощи абака — абацисты — в течение нескольких столетий вели ожесточённую борьбу с алгоритмиками — приверженцами возникших тогда методов алгоритмизации арифметических действий.
В России счёты (аналог абака) появились в XVI веке и применяются до сих пор, хотя в последнее время их использование ограничено широким распространением калькуляторов.
В странах Востока распространены китайский аналог абака — суаньпань и японский — соробан.
Греческий абак
Самая ранная информация об абаке в Греции относится к 5 веку до н.э. Он представлял собой панель из дерева или мрамора с камнями из дерева или металла. На острове Salamis в 1946 году раскопали абак 300 года до н.э. - древнейший абак из найденных до сих пор. Он представляет собой плиту из белого мрамора 149х75х4.5 см, на которой было 5 групп маркеров. В центре плиты располагались 5 параллельных прямых, пересечённых вертикальной прямой. Под этими линиями - трещина, а под ней - ещё 11 параллельных линий, снова пересечённых вертикальной прямой. Третий, шестой и девятый ряды помечены крестами.
Римский абак
Нормальным методом счёта в Древнем Риме, как и в Греции, было передвижение счётчиков по плитке. Изначально для этого использовались камешки "Calculi". Позже, в средневековой Европе стали производить специальные жетоны. Прямые разделяли единицы, пятёрки, десятки - как в римской системе счисления. В 1 веке до н.э. Гораций описывает восковой абак - доску, покрытую чёрным воском, на которой была нанесена разметка стилусом.
Одна из раскопок римских счёт относится к 1 веку н.э. Она содержит 8 длинных желобов для 5 бусин и 8 для 1 бусины. Они предназначались соответствена для отсчёта десятков и пятёрок. Таким образом, число 264 можно было представить как 2*100 + 1*50 + 1*10 + 0*5 + 4*1 -- почти как в римской системе.
Логарифмы, логарифмическая шкала, логарифмические линейки. Непер, Гюнтер, Отред, Деламейн, Уатт, Ньютон
Логарифмические линейки: впервые изобрел Отред в 1620-23, затем совершенствовали Ньютон, Уатт. Вроде бы в 1654 Р. Бесакер изобрел криволинейную логарифмическую линейку.
Джон Непер (1550--1617)
В 1614 опубликовал работу "Описание удивительных таблиц логарифмов" - логарифмы и тригонометрические функции(0-90 градусы,шаг 1 минута) с точностью до восьмого знака. Таблицу Непера составляли логарифмы тригонометрических функций. Прежде всего отдельную колонку составляли логарифмы синусов углов первой четверти, выбранных с интервалом 1 минута. Они давали и значения логарифмов косинусов (как синусов дополнительных углов). В специальной колонке под названием "разности" приведены разности логарифмов дополнительных углов, т.е. логарифмы тангенсов. Неперу было известно, что логарифмы обратных тригонометрических функций получаются просто изменением знака.
1617 - проф. Бриг из Лондона, 8-значные таблицы чисел от 1 до 1000. Затем он же логарифмы - от 1 до 20000, 80000-100000.
Эдвард Гюнтер из Оксфорда: логарифмическая шкала, в 1624 Edmund Wingate опубликовал его результаты в Париже. На дощечке наносил логарифмы чисел, затем измерительным циркулем мерял расстояния - разности и суммы. Разработал логарифмическую шкалу, явившуюся первым вариантом широко ныне распространенной логарифмической линейки. Он же, а кроме него Кеплер и другие ученые, составлял таблицы логарифмов чисел и тригонометрических функций, как десятичные так, и натуральные, и широко использовал их в астрономии.
Отред
Отред из Кембриджа внёс решающий вклад в изобретение удобной для пользования логарифмической линейки тем, что предложил использовать две одинаковые шкалы, скользящие одна вдоль другой. 1630 год — он и его ученик Ричард Деламейн создают круговую логарифмическую линейку, но результаты не публикуют, подобно Ньютону, который передавал знания только лично. Саму идею логарифмической шкалы ранее опубликовал валлиец Эдмунд Гантер, но для выполнения вычислений эту шкалу нужно было тщательно измерять двумя циркулями. Двойная шкала Отреда сразу давала результат. В 1662 году Сет Партридж изобрёл бегунок и визир, и в этом виде логарифмическая линейка верно служила инженерам и математикам более 300 лет, пока не появились электронные калькуляторы.
Отред изобрёл также компактную круговую логарифмическую линейку, которая получила некоторую известность и вызвала ряд подражаний. В окончательном виде круговая линейка Отреда имела десять шкал и позволяла умножать, делить и находить значения нескольких тригонометрических функций.
Н.Меркатор (Кауфман)
Николас Меркатор (1620-1681). Умел вычислять логарифм от 1+х через разложение в ряд:
Он также ввёл термин "натуральный логарифм" - хотя его основание далеко не натурально.
Открытия математики эпохи Возрождения. Кардано, Тарталья, Сципион дель Ферро и др
XVI век:
Ферро и Тарталья
Ферро думал над решением уравнения третьей степени х^3 + ax = b, a, b > 0. (Glider: википедия говорит, что он даже научился их решать (и это правда по Рыбникову.)) Короче он нашел формулу но как и многие не публиковал ее а держал, чтобы использовать в качеств оружия на мат. дуэли. Передал ее переди смертью своему ученику Фиоре, который в последствии должен был сражаться с Тарталья. Узнав, что Фиоре владеет этим тайным знанием Тарталья не нашел ничено лучше как заново открыть эту формулу, обеспечившую ему победу в диспуте.
Ответ Ферро:
![x = \sqrt[3]{\frac{b}{2}+\sqrt{\frac{b^2}{4}-\frac{a^3}{27}}}+\sqrt[3]{\frac{b}{2}-\sqrt{\frac{b^2}{4}-\frac{a^3}{27}}}](/w/images/math/3/0/3/303fc2c40b210b1a97e8c176018d28a5.png)
Никколо Тарталья (итал. Niccolò Fontana Tartaglia, 1499—1557) . Когда французы входили в Болонию, то осколком разрыва его ранило в гортань, и он стал заикаться. Тарталья в переводе и есть заика. =) Он был сыном довольно бедного человека, что даже в школе учился только очень недолго и в самых начальных классах. И деньги кончились очень быстро. И тем не менее он продолжал самообразование, и стал в результате довольно известным человеком во многих сферах. В частности, Тарталья изучал уравнения третьей степени.
Артиллеристы спросили: под каким углом надо стрелять, чтобы дальше всего улетел снаряд? Он сказал - 45 градусов. Правда, есть сомнения, что он мог это доказать - скорее всего, чисто эмпирически. Также он интересовался математическими проблемами, в частности, решением кубического уравнения. И в Италии был соревновательный дух. И было так: два человека вызывали друг друга на дуэль (математическую), в присутствии кучи людей. И каждый выдавал друг другу задачи, и кто больше задач решил, тот победил. И если решить на n задач меньше, то n человек из группы поддержки могли обедать у противоположной стороны. Фиоре вызвал Тарталью на дуэль, дал 30 задач того же типа (все!). В общем, он их все решил. И победил. Фиоре не решил одну из задач. =) Но плагиата раньше не существовало. А тут уже наступили авторские права: важен вопрос, кто конкретно это сделал. Поэтому каждый держал свои рецепты в секрете, в т.ч. и Тарталья.
Метод Тартальи, как, по-видимому, и метод Ферро, состоял в подборе подходящей формы алгебраической иррациональности уравнений указанного выше вида. Предположив, что x = u^1/3 - v^1/3, подставив это выражение в уравнение и положив p = 3(uv)^1/3 он получил систему: u - v = q; uv = p^3/27 и нашел u и v интерпретируя их как корни квадратного уравнения.
Это не то же самое, чем если бы было с переносом слагаемых в другую часть - отрицательных чисел не было. Общих формул тоже не было (для произвольных коэффициентов).
Тарталья известен формулой для площади произвольного тетраэдра (формула Тартальи). Он установил, что она равна определителю Кейлера-Менгера от попарных расстояний между вершинами:
Это обобщение Формулы Герона для площади треугольника.
Кроме того, он вычислил биномиальные коэффициенты методом треугольника Тартальи (он же треугольник Паскаля).
Кардано
Кардано родился в том же году, что и Тарталья. Он был незаконнорожденный сын адвоката, получил хорошее медицинское образование, но не был принят в коллегию врачей (ибо незаконнорожденный). Кроме медицины, очень любил азартные игры. В частности, игру в кости.) В результате заложил основы теории вероятностей, грубо сформулировал закон больших чисел. Ввел понятие "софистических" (мнимых) чисел
В 39 году послал к Тарталье с просьбой раскрыть рецепт решения уравнения третьей степени. Долго уговаривал, поймал на тщеславии. Встретились, при встрече был Фиоре.. В общем, выпросил рецепт. Опубликовал в 41 году одну из работ, не упомянув, откуда у него эти записи. В 45 году издал свою большую книжку, => клятвопреступник (поклялся не печатать и никому не говорить то, что дал ему Тарталья) (Glider: википедия говорит, что Кардано прочел неопубликованную работу дель Ферро, поэтому счел себя вправе нарушить обещание). Всё это формулировалось и доказывалось на языке геометрии. Алгебраической символики не было. Поэтому нельзя было подставить и проверить, что это так и есть).
Кардано ввел регулярный способ сведения полного кубического уравнения ax^3+bx^2+cx+d=0 к виду, в котором отсутствует член с квадратом неизвестного, с помощью подстановки x=x1+h и распространил его на уравнения 4-й степени. Также в его книге высказано много теорем о взаимозависимости корней и коэффициентов: о положительных и отрицательных (называя их "фиктивными") корнях, об их сумме и другие теоремы, например: если в уравнении все члены, стоящие в левой части, имеют степень большую, чем степени членов в правой части, то уравнение имеет один и только один положительный корень. Наконец, Кардано показал делимость алгебраического полинома Pn(x) на x-x1, где x1 - корень уравнения Pn(x) = 0. Кардано также включил в свою книгу и метод решения уравнений 4-й степени путем сведения задачи к кубической резольвенте, открытый его учеником Феррари.
Разработал карданный вал.
Виет
Важнейший шаг к новой математике сделал француз Франсуа Виет. Он окончательно сформулировал символический метаязык арифметики — буквенную алгебру. С её появлением открылась возможность проведения исследований невиданной ранее глубины и общности. В своей книге «Введение в аналитическое искусство» Виет показал примеры мощи нового метода, найдя знаменитые формулы Виета. Умел раскладывать sin и cos kx через sin и cos. Формулы для синуса и косинуса суммы.
Зарождение математики переменных величин. Декарт, Ферма, Кепплер, Кавальери, Паскаль и др
Рене Декарт (1595-1650) Сущность есть трёхмерность материи 1637 - публикация труда "Геометрия". Сформулировал понятие переменной величины и сказал о понятии прямоугольной системе координат. Переменная величина - в 2х видах. Доказал, что все задачи, которые решаются с помощью циркуля и линейки, сводятся к решению уравнений не выше второй степени. Классификация кривых. Кривые имеют не степени, а ранги, а ранг кривой равен количеству звеньев шарнирного механизма, требуемых для создания такого рисунка, а те, кого так не нарисуешь - назвал механическими (а потом их назвали трансцендентными). Не любил отрицательные числа и ничего не знал о мнимых числах. Но высказал гипотезу, что уравнение n-ной степени имеет n корней. Однако ограничивался алгебраическими кривыми. Но зато начал использовать удобные обозначения. Декарт утверждал, что природой материи является ее трехмерная объемность; важнейшими свойствами ее - делимость и подвижность. Эти же свойства материи должна отображать математика. Последняя не может быть либо численной, либо геометрической. она должна быть универсальной наукой, в которую входит все, относящееся к порядку и мере. В основу "Геометрии" Декарта положены две идеи: введение переменной величины и использование переменных (декартовых) координат. В согласии с его унифицирующей тенденцией, переменная величина вводится в двоякой форме: в виде текущей координаты точки, движущейся по кривой, и в виде переменного элемента множества чисел, соответствующих точкам данного координатного отрезка. Для полинома с целыми коэффициентами Декарт сделал глубокий вывод, что число корней уравнения равно числу единиц в наивысшем показателе степени х. Декарт показал, что уравнение имеет столько положительных корней, сколько знакоперемен в ряду коэффициентов, и столько отрицательных - сколько повторений знака. Замечательной по глубине замысла является постановка проблемы приводимости, т.е. представления целой рациональной функции с рациональными коэффициентами в виде произведения таких же функций. Декарт показал, что уравнение 3-й степени решается в квадратных радикалах (с помощью циркуля и линейки), лишь если оно приводимо. Вопрос о приводимости уравнения 4-й степени он свел к вопросу о приводимости его кубической резольвенты.
Пьер Ферма (1601-1665) Современник Декарта. Образование юридическое. Тоже неотрицательные числа; применял некоторые преобразования (сдвиг и поворот) - это то, что его отличало от Декарта.. и это позволяло приводить уравнения к каноническому виду. Начал придумывать свои способы вычисления площадей и объёмов. Придумал книжку. Там написал свои методы интегрирования, перекликающиеся с методами Евдокса и Архимеда. 92 вида фигур вращения. Вводит метод координат, аналогичный Декартовому. Выводит уравнения прямой, окружности и всех конических сечений. По сути "Введение" Ферма также круто как и "Геметрия" Декарта, но вышло позже ввиду лени Ферма публиковаться и было написано тяжеловесным языком алгебры Виета, что затрудняло понимание. Работал над общей теорией диофантовых уравнений второй степени (ax^2+bxy+сy^2+dx+ey+f=0, a, b, ... целые числа). Ферма, Кавальери, Паскалем были разработаны методы квадрирования площадей, ограниченных кривой вида y=x^n, абсциссой и двумя ординатами. Они также создавали анализ бесконечно малых (+Кеплер).
Иоганн Кеплер
Ну про него мы и так всё знаем... Для тех кто не помнит:
Кеплер открыл и математически сформулировал свои знаменитые законы движения планет.
1) Планеты движутся по эллипсам; Солнце находится в одном из его фокусов; 2) Радиус-векторы планет "заметают" за равные промежутки времени равные секториальные площади; 3) Квадраты времен обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы их расстояний до Солнца. Собственно для корректного математического вывода этих законов он и изложил свой метод использования бесконечно малых. Речь идет об отыскании наиболее целесообразной формы бочек и о способах измерения их вместимости (использует метод исчерпывания, которым пользовался Архимед).
Вывел формулу радиуса кривизны.
Кавалерия
Ученик Галилея. Монах. Увлекался математикой (странно...). Необразованный монах, поэтому изобретал велосипед, причём не один раз. И теория у него была - теория неделимых. Есть материя в пространстве - пусть камень. Короче, заключал n-мерное тело в m k-мерных, где k<n. Опять считал объёмы.
Блез Паскаль (1623--1662) Родился в достаточно обеспеченной семье рантье Этьена Паскаля. В 1638 отец попал в немилость к Ришелье и вынужден был бежать в Испанию. Позже по просьбе младшей дочери Этьен был прощен и занял пост интенданта Руана. В шестнадцатилетнем возрасте Блез опубликовал первую работу по математике (на 53 строки математического труда, размножил в 50 экземплярах и расклеил по улицам Парижа). Это был трактат по проективной геометрии "Опыт о конических сечениях"
Занимался также физикой; разработал в это же время что-то из гидродинамики (закон Паскаля). Гидравлический пресс и всё такое. Из математики: треугольник Паскаля; первые методы интегрирования; использовал начала теории определённого и неопределнного интегрирования. Определённые результаты теории вероятности. В общем, везде он начал что-то делать.
В 18 лет начал разрабатывать вычислительные машины (около 50 штук). Идеи очень напоминали Шиккардовские. Но он точно не мог их увидеть, потому что никто о той машине и её идеях, кроме самого Шиккарда и его друзей, не знал этих идей. Машина Паскаля умела складывать, вычитать (используя дополнительный код), умножать и делить (путем последовательных сложений или вычитаний)
Пытался уточнить определенное интегрирование. Смысл состоит в том, что он сумму всех неделимых понимал как сумму элементарных площадок, образуемых бесконечно близкими одинаково отстоящими друг от друга ординатами, ограниченным отрезком оси абсцисс и кривой. Для Лейбница треугольник Паскаля полсужил прообразом дифференциального треугольника, составленного из дифференциалов dx, dy, dz.
Счётные машины эпохи техники часовых механизмов (Шиккард, Паскаль, Лейбниц)
1957г.: Хаммер обнаружил в Штутгарте наброски вычилительной машины, созданной Шиккардом в 1623 году. Так что примерно раньше, чеми Паскаль придумал свою машину, он нашёл запись, где это было придумано. Но это обнаружилась копия. А оригинал был в России в библиотеке Пулковской обсерватории (архив Кеплера). Ещё через 10 лет в библиотеке Мадрида обнаружилось устройство суммирования Леонардо да Винчи. Примитивно. Но умела. Сделал Ферма, она вроде как даже работала.
Шиккард (1592--1636)
Профессор кафедры восточных языков Тюбингенского университета, интересовался астрономией, переписывался с Кеплером. Кеплер высоко ценил его способности. Рекомендовал бросить языки и заняться математикой... что он и сделал. Стал потом заведовать кафедрой математики. В письме писал, что он сумел сделать "Часы для счёта". То есть он сделал механически то, что Кеплер сделал алгебраически. Придумал устройство, которое умело складывать, вычитать, умножать и делить. Умножать и делить, смысл: чем отличается машина Шиккарда от абака и от всех более ранних вообще? Проблемы: как представлялось число; не как колечко, а цифра - угол поворота зубчатого колеса. 10 зубцов. Самая тяжёлая задача - перенос десятков. Поставили ещё одно однозубое колесо. =) В общем, она отличалась тем, что была сделана остроумно.)
В машине также использовались барабаны, на которые была намотана таблица умножения.
Машина Шиккарда состояла из трех частей: суммирующее устройство, множительное и механизм для записывания промежуточных результатов. Первое из них представляло раннюю разновидность арифмометра, построенного на принципе использования зубчатых передач. На параллельных осях (их было 6) насаживались по одной десятизубой и однозубой шестерне. Последняя служила для того, чтобы передать шестерне следующего разряда толчок, поворачивающий ее на 0,1 оборота, после того как предыдущая шестерня сделает полный оборот. Техническое оформление машины позволяло видеть в окошках, какое число набрано в качестве первого слагаемого (или уменьшаемого) и последующие результаты, вплоть до итогового. Вычисление не представляло при этом затруднений. Для деления рекомендовалось повторное вычитание делителя из делимого. Умножение: на 6 параллельных осей насаживались цилиндры, на каждый из которых наворачивалась таблица умножения. Перед цилиндрами устроена панель с девятью рядами окошек, каждый ряд открывается и закрывается специальной фигурной задвижкой. Третья часть машины состояла из шести барабанчиков с нанесенными на них цифрами: 1, 2, ..., 9, 0 и соответственно из панели с шестью окошками. Поворотом барабанов в окошках фиксировалось число, которое вычислителю надо запомнить.
Блез Паскаль (1623--1662)
Родился в достаточно обеспеченной семье рантье Этьена Паскаля. В 1638 отец попал в немилость к Ришелье и вынужден был бежать в Испанию. Позже по просьбе младшей дочери Этьен был прощен и занял пост интенданта Руана. В шестнадцатилетнем возрасте Блез опубликовал первую работу по математике (на 53 строки математического труда, размножил в 50 экземплярах и расклеил по улицам Парижа). Это был трактат по проективной геометрии "Опыт о конических сечениях"
Занимался также физикой; разработал в это же время что-то из гидродинамики (закон Паскаля). Гидравлический пресс и всё такое. Из математики: треугольник Паскаля; первые методы интегрирования; использовал начала теории определённого и неопределнного интегрирования. Определённые результаты теории вероятности. В общем, везде он начал что-то делать.
В 18 лет начал разрабатывать вычислительные машины (около 50 штук). Идеи очень напоминали Шиккардовские. Но он точно не мог их увидеть, потому что никто о той машине и её идеях, кроме самого Шиккарда и его друзей, не знал этих идей. Машина Паскаля умела складывать, вычитать (используя дополнительный код), умножать и делить (путем последовательных сложений или вычитаний)
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716)
Родился в Лейпциге в семье профессора этики, морали и права. Имел очень хорошие отношения с Петром I. Одна из его деятельностей - дипломатия на высоком уровне; занимался монетным делом, как и все умные люди; насоветовал всего хорошего Петру. В частности, по его совету была придумана Питерская Академия Наук. В общем, он везде приложил руку, даже в церкви. В первую очередь искал "всеобщую характеристику" - общий метод познания всех истин вообще. В ее основе, по мнению Лейбница, лежала математика. Если мы формализуем все знания, то споры философов станут не нужны - формализуем всё, и всё.) В результате был сделан значительный вклад в математическую логику. Член Лондонского Королевского общества, и много чего ещё, признание он получил. Хотя, он был и не настолько замечателен, как, например, Ньютон. В конце жизни поимел разлад с окружающим миром... почему - хз. Ввёл дифференциал (dx, ага). Вообще сделал много в дифференциальном исчислении. Знак интеграла ввёл, константа, переменная, координаты, абсцисса, дифференциальное уравнение, функция, алгебраические трансцендентные кривые. В области дифференцирования: правила дифференцирования суммы, разности, степени, корня, произведения, и т.д. Формула многократного дифференцирования произведения функций, разлагал функции в степенные ряды для оперирования со сложными функциями; установил сходимость знакочередующегося ряда; вычислил пи как разложение в ряд. Правило Крамера придумал Лейбниц.) Правило Лопиталя впервые появилось тоже в его трудах. Правда, его изначально придумал Бернулли... Придумал определитель, кстати. Машина Лейбница, да. Когда ему было 24 года, он задумал усовершенствовать машину Паскаля. Ему в ней не нравилось умножение как последовательное сложение, там нужно было устанавливать всё время второе слагаемое. В машине Лейбница это было автоматизировано, интересная реализация: использовался ступенчатый валик; сходный принцип применялся в XIX-XX вв. в арифмометрах. Начал в 1676 году, несколько раз усовершенствовал, закончил в 1694 году. Машины были очень дорогими, сложными, техники тяжеловато с этим справлялись. Зато сам не вытачивал детали, как Паскаль.
Научная биография Ньютона. Теория флюксий
Исаак Ньютон (1642-1727) Учился в Triniti-колледже =) закончил бакалавром (в 1665). Спрятался от чумы в своём имении и жил там 3 года, никого не любя и никем не любимый. Поэтому учился. Магистр, профессор Кэмбриджа, был избран членом, а в последствии и президентом Лондонского королевского общества (аналог АН). Достижения: вывод и формулировка основных законов классической механики, и далее по тексту. Натворил.... как Пушкин. Заложил основы интегрального и дифференциального исчисления. Придумал зеркальный телескоп и от нечего делать его сам сделал. Открыл закон всемирного тяготения. Занимался опытами по дифракции, интерференции, раскладывал спектр света. Сильно воевал с Гуком, ибо был приверженцем корпускулярной теории света, а Гук - волновой. Но длину световой волны замерил Ньютон =) И был принят в Лондонское Королевское Общество. В 1703 году его возглавил.
1671 - "Метод флюксий и бесконечные ряды" Математический аппарат у него - не цель, а средство. Книга "Мат. начала натурфилософии". Издал её в 1688 году. И всё там считал через свою математику. Кстати, он её нигде не афишировал.
Флюксией Ньютон называл производную, а флюэнтой - первообразную.
В методе флюксий изучаются переменные величины, вводимые как абстракции различных видов непрерывного механического движения. Называются они флюентами, т.е. текущими, от латинского fluente - течь. Все флюенты являются зависимыми переменными; они имеют общий аргумент - время. Точнее, речь идет о математическом. абстрагированном аналоге времени - некой воображаемой абстрактной равномерно величины, к которой отнесены флюенты. Далее приводятся скорости течения флюент, т.е. производные по времени. Названы они флюксиями. Так как флюксия представляет собой переменную, то можно вводить флюксию от флюксии и т.д. Для вычисления мгновенных скоростей - флюксий потребовались бесконечно малые изменения флюент, названные ньютоном моментами. По существу момент флюенты - это ее дифференциал. В теории флюксий решаются две главные задачи, сформулированные как в механических так и в математических терминах: 1) Определение скорости движения в данный момент времени по заданному пути. Иначе: определение соотношения между флюксиями из заданного соотношения между флюентами. 2) По заданной скорости движения определить пройденный за данное время путь. В математических терминах: определить соотношение между флюентами по заданному соотношению между флюксиями. Первая задача - задача дифференцирования, вторая - задача интегрирования.
Научная биография Лейбница. Дифференциальное исчисление
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) Родился в Лейпциге в семье профессора этики, морали и права. Имел очень хорошие отношения с Петром I. Одна из его деятельностей - дипломатия на высоком уровне; занимался монетным делом, как и все умные люди; насоветовал всего хорошего Петру. В частности, по его совету была придумана Питерская Академия Наук. В общем, он везде приложил руку, даже в церкви. В первую очередь искал "всеобщую характеристику" - общий метод познания всех истин вообще. В ее основе, по мнению Лейбница, лежала математика. Если мы формализуем все знания, то споры философов станут не нужны - формализуем всё, и всё.) В результате был сделан значительный вклад в математическую логику. Член Лондонского Королевского общества, и много чего ещё, признание он получил. Хотя, он был и не настолько замечателен, как, например, Ньютон. В конце жизни поимел разлад с окружающим миром... почему - хз. Ввёл дифференциал (dx, ага). Вообще сделал много в дифференциальном исчислении. Знак интеграла ввёл, константа, переменная, координаты, абсцисса, дифференциальное уравнение, функция, алгебраические трансцендентные кривые. В области дифференцирования: правила дифференцирования суммы, разности, степени, корня, произведения, и т.д. Формула многократного дифференцирования произведения функций, разлагал функции в степенные ряды для оперирования со сложными функциями; установил сходимость знакочередующегося ряда; вычислил пи как разложение в ряд. Правило Крамера придумал Лейбниц.) Правило Лопиталя впервые появилось тоже в его трудах. Правда, его изначально придумал Бернулли... Придумал определитель, кстати. Машина Лейбница, да. Когда ему было 24 года, он задумал усовершенствовать машину Паскаля. Ему в ней не нравилось умножение как последовательное сложение, там нужно было устанавливать всё время второе слагаемое. В машине Лейбница это было автоматизировано, интересная реализация: использовался ступенчатый валик; сходный принцип применялся в XIX-XX вв. в арифмометрах. Начал в 1676 году, несколько раз усовершенствовал, закончил в 1694 году. Машины были очень дорогими, сложными, техники тяжеловато с этим справлялись. Зато сам не вытачивал детали, как Паскаль.
В математическом плане лейбницево дифференциальное исчисление складывалось в общих чертах из следующих посылок: 1) задачи суммирования рядов; 2) решение задач о касательных, характеристический треугольник Паскаля и постепенный перенос соотношений между конечными элементами на произвольно, а затем и бесконечно малые; 3) обратные задачи на касательные, суммирование бесконечно малых разностей, открытие взаимообразности дифференциальных и интеграционных задач.
Наука в России в начале 18-го века. Леонард Эйлер. Научная биография
При Петре стали организовываться школы, но народ не хотел учиться. В результате из-за переписки Петра с Вольфом в Россию стали приезжать сильные математики, и в том числе Эйлер и сыновья Бернулли.
Леонард Эйлер (1707-1783) Родился в Базеле, в семье священника. В 16 лет стал магистром. Занимался математикой, теологией, медициной, проблемы коралестроения, отправлял свои работы в Париж, чтобы его взяли там на кафедру, о его почему-то не взяли. Занимался морским делом во всех его проявлениях; а потом оказалось, что он безработный. В 1727 приехал в Россию и угодил в тот день, когда умерла Екатерина Первая. И это очень негативно сказалось на науке. Освободилась кафедра физики, потому что учёные сбегали из России, а потом и кафедра математики, и Эйлер их обе на себя взял.) Стал публиковаться, там же была статья Бернулли о колебаниях струны. От перенарпяжения потерял зрение на один глаз, потом уехал в Германию на некоторое время, но всё ещё помогает России всем, чем может, и в результате опять вернулся в Россию. Продолжает очень напряжённо работать и теряет зрение на второй глаз. И он диктовал свои работы (400 работ продиктовал в своём почтенном возрасте) ученикам и своему сыну.. Лаплас: "Читайте Эйлера, учителя всех нас" (с). За свою жизнь опубликовал 889 работ. Это много, ибо он это всё сам придумывал. +3000 писем математического содержания. Математика, механиеака, астрономия, медицина, морское дело, баллистика, артиллерия, финансовое дело, музыка, горное дело, теория музыки, картография, страховое дело, то есть, понимаете, всё. До хрена методов Эйлера, формул, терминов Эйлера.
Условие Коши-Римана - это Эйлер и Даламбер)) Ряды Фурье - это Эйлер =)
В 1970 (???) году - ввёл понятие двойного интеграла.
Альфа-бета-гамма функции тоже.
Самый базовый его труд - дифференциальное исчисление. Создал теорию ОДУ, основы ДУЧП. Диффур с постоянными коэффициентами... чаще всего решаются через подстановки Эйлера. Он пишет книгу и включает в неё все известные способы решения диффуров, в т.ч. и им самим изобретёнными. О единственности он не задумывался. Не разделял уже действительные и комплексные аргументы - в общем случае делал. Начал классифицировать кривые по степени. Занимался анализом бесконечно малых. Эйлеру принадлежат открытия во всех областях современной ему математики, математической физики и механики. В своих работах по математическому анализу он заложил основы ряда математических дисциплин. Так, он положил основания теории функций комплексного переменного, теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Явился создателем вариационного исчисления и многих приемов интегрирования.
Эйлер внес большой вклад в алгебру и теорию чисел, где его результаты являются классическими и известны в науке под названием формул и теорем Эйлера.
Используя специально подобранную символику, Эйлер облегчил язык математики, сделал ее более обозримой и более доступной. Он, например, ввел сокращенные обозначения тригонометрических функций угла х: tg x, ctg x, sec x, cosec x (обозначения sin x и cos x : были введены И. Бернулли).
Эйлер установил современную точку зрения на тригонометрические функции как функции числового аргумента. В трудах Эйлера тригонометрия приняла тот вид, который она имеет в настоящее время. Умер Эйлер - на долгое время математика в России заглохла.
Научная биография Ч. Беббиджа. Разностная машина Беббиджа
Чарльз Бэббидж считается изобретателем вычислительных машин. Кроме того, Бэббидж занимался безопасностью железнодорожного движения, для чего оборудовал вагон-лабораторию всевозможными датчиками, показания которых фиксировались самописцами. Изобрёл спидометр. Участвовал в изобретении тахометра. Создал приспособление, сбрасывающее случайные предметы с путей перед локомотивом. В ходе работ над созданием вычислительных машин, сделал большой прогресс в металлообработке. Сконструировал поперечно-строгальный и токарно-револьверный станки, придумал методы изготовления зубчатых колес. Предложил новый метод заточки инструментов и литья под давлением. Он содействовал реформированию почтовой системы в Англии. Составил первые надёжные страховые таблицы. Занимался теорией функционального анализа, экспериментальными исследованиями электромагнетизма, вопросами шифрования, оптикой, геологией, религиозно-философскими вопросами. В 1834 году Бэббидж написал одну из самых важных работ «Экономика технологий и производств», в которой он предлагал то, что сейчас называется «Исследованием операций».
Бэббидж сформулировал принципы вычисления таблиц разностным методом при помощи машины, которую он впоследствии назвал разностной. Эта машина должна была производить комплекс вычислений, используя только операцию сложения. В 1819 году Чарльз Бэббидж приступил к созданию малой разностной машины, а в 1822 году он закончил её строительство и выступил перед Королевским Астрономическим обществом с докладом о применении машинного механизма для вычисления астрономических и математических таблиц. Он продемонстрировал работу машины на примере вычисления членов последовательности. Работа разностной машины была основана на методе конечных разностей. Малая машина была полностью механической и состояла из множества шестерёнок и рычагов. В ней использовалась десятичная система счисления. Она оперировала 18 разрядными числами с точностью до восьмого знака после запятой и обеспечивала скорость вычислений 12 членов последовательности в 1 минуту. Малая разностная машина могла считать значения многочленов 7-ой степени.
Аналитическая машина Бэббиджа
Аналитическая машина (принцип - зубчатые передачи): (по лекциям Вали)
- Склад (память) - Мельница (АЛУ) - УУ (управление) - IO (ввод-вывод)
50 разрядов
Ввод-вывод осуществляется перфокартами (которые придумали ткачи): - принимающие - поставляющие - с сохранением информации - с за(т/п?)иранием того, откуда передаем
Были также перфокарты с программами (записью, какие действия следует выполнить) Для реализации if-then-else использовали знак результата. Но потребовалось еще передвигать перфокарты вперед и назад для реализации переходов.
Архитектура современного компьютера во многом схожа с архитектурой аналитической машины. В аналитической машине Бэббидж предусмотрел следующие части: склад (store), фабрика или мельница (mill), управляющий элемент (control) и устройства ввода/вывода информации. Склад предназначался для хранения как значений переменных, с которыми производятся операции, так и результатов операций. В современной терминологии это называется памятью. Мельница (арифметико-логическое устройство, часть современного процессора) должна была производить операции над переменными, а также хранить в регистрах значение переменных, с которыми в данный момент осуществляет операцию. Третье устройство, которому Бэббидж не дал названия, осуществляло управление последовательностью операций, помещение переменных в склад и извлечение их из склада, а также выводом результатов. Оно считывало последовательность операций и переменные с перфокарт. Перфокарты были двух видов: операционные карты и карты переменных. Из операционных карт можно было составить библиотеку функций. Кроме того, по замыслу Бэббиджа, Аналитическая машина должна была содержать устройство печати и устройство вывода результатов на перфокарты для последующего использования. Для создания компьютера в современном понимании оставалось лишь придумать схему с хранимой программой, что было сделано 100 лет спустя Эккертом, Мочли и Фон Нейманом.
Научная биография А. Лавлайс
1815-1852. Дочь лорда Байрона. Присутствовала на презентации разностной машины Бэббиджа. Перевела на английский статью о аналитической машине Бэббиджа. Снабдила ее комментариями относительно алгоритма и программы вычислений.В числе прочего она сообщила Бэббиджу, что составила план операций для аналитической машины, с помощью которых можно решить уравнение Бернулли, которое выражает закон сохранения энергии движущейся жидкости. подпрограмма и библиотека подпрограмм, модификация команд и индексный регистр, которые стали употребляться только в 50-х годах XX века. Сам термин «библиотека» был введён Бэббиджем, а термины «рабочая ячейка» и «цикл» предложила Ада Лавлейс. Считала, что машина может вычислить многое, если ей задать способ вычисления.
Н.И. Лобачевский и неевклидова геометрия
1792-1856. Учился и работал в Казанской университете. Он исходил из попытки доказать 5 постулат евклида. Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) — одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского. Постулат Лобачевского: через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её. Лобачевский считает аксиому параллельности Евклида произвольным ограничением. С его точки зрения, это требование слишком жёсткое, ограничивающее возможности теории, описывающей свойства пространства. Евклидова геометрия может быть из нее получена предельным переходом (при стремлении кривизны пространства к нулю). В самой геометрии Лобачевского кривизна отрицательна. Применение его геометрии нашла Бельтрани(траектрисса, псевдосфера), Клейн
Развитие геометрии Лобачевского связано с введением пучков прямых: сходящихся, расходящихся и параллельных. Относительно пучков прямых вводятся циклы. Это - геометрические места точек, являющиеся ортогональными траекториями пучка прямых. Их положение определяется начальной точкой, выбранной на одной из прямых пучка. Эти циклы для трех видов пучков соответственно называются: окружность, эквидистанта (или гиперцикл) и орицикл (образ предельной окружности при R -> ~). Соответствующие пространственные образы, образованные вращением циклов вокруг избранной прямой, соответственно будут: сфера, гиперсфера и орисфера.
Во все соотношения геометрии Лобачевского входит единица длины (масштаб), а углы и длины зависят друг от друга. Единицей длины является OR - длина абсолютной дуги орицикла. Это - дуга, отсчитываемая от избранной точки O на одной из параллельных прямых пучка до R - пересечения орицикла с прямой пучка, параллельной касательной к орициклу в точке О. В настоящее время отрезок, равный по длине абсолютной дуге, называют радиусом длины Лобачевского.
Аппарат вычислений в геометрии Лобачевского основывается на оперировании с гиперболическими функциями. Вся тригонометрия оказалась в основном тригонометрией гиперболических функций.
Для бесконечно малых размеров его геометрия превращается в евклидову.
Первой интерпретацией геометрии Лобачевского можно считать результаты Бельтрами, касающиеся задачи картографии: отобразить поверхность на плоскость таким образом, чтобы все геодезические линии на поверхности изображались прямыми на плоскости. Но эта интерпретация оказалась неполной.
Полным доказательством непротиворечивости геометрии Лобачевского является модель Клейна.
Петербургская математическая школа. Остроградский, Буняковский
Хуже всего с математикой было в Москве. В Казани преподавал Лобачевский. Дальше - по хронологии переезжаем в Питер. Там были хорошие математики, но французского воспитания. Основатели Петербуржской математической школы - Остроградский, Буняковский. Профессиональное образование они получали во Франции, где на тот период была самая сильная математика - Коши, Пуассон, Фурье... Буняковский Получал образование в Париже. В 1827 вернулся в Питер, тут же стал академик и адъюнкт. Потом стал вице-президентом Академии Наук. Более 40 работ по теории чисел. Сходимость рядов, свойства, неравенство Буняковского (Буняковского-Шварца, Шварцем было открыто независимо через 16 лет) (интегральное, да), теория чисел. Пятый постулат. Жил 85 лет. Буняковский на дух не переносил теорию Лобачевского. Был первым демографом в России.
Большинство работ Остроградского относились к области механики, математической физики и связанных с ними проблем математического анализа. Кроме того он оставил после себя первоклассные работы по алгебре, теории чисел и теории вероятностей. Решил задачу о распространении волн на поверхности жидкости в цилиндрическом бассейне, позже решил ту же задачу для бассейна, имеющего форму кругового сектора. Дал оригинальный вывод уравнения Пуассона, развил метод Фурье для твердых тел в общей форме, впервые дал строгое решение задачи о распространении тепла в жидкости. В мат анализе - формула Остроградского, ее обобщение на случай n-кратного интеграла, формула дифференцирования кратного интеграла по параметру. Доказал, что алгебраический интеграл от рациональной функции может быть только рациональной функцией. Интеграл от алгебраической функции не может содержать ни показательных, ни тригонометрических функций. Найден способ отделения алгебраической части интеграла от рациональной дроби.
Буняковский в работах по теории чисел доказал квадратичный закон взаимности, решил ряд задач диофантова анализа.
Классические проблемы алгебры. Гаусс, Абель, Галуа
Гаусс (1807-1855). Король математиков. В 3-летнем возрасте нашёл у отца ошибку в рассуждениях. Страсть как любил считать. Всё и вся. В 19 лет защитил докторскую диссертацию, в которой доказал основную теорему алгебры, не ссылаясь на то, что корни существуют. Лет через 20 доказал другим способом (более просто). А гордился он решением одночленных уравнений в комплексной плоскости. Построил 17угольник =) На пару с Коши ввели и обосновали операции над числами a +- bi, ввели термин "комплексное число", нашли "норму" (Гаусс) или "модуль" (Коши), определили понятие сопряженности комплексных чисел. Создал общую теорию квадратичных форм.
Абель (1802-1829) Занимался уравнениями. Писал работы, отсылал, рецензий нет. Пуассон задвинул Галуа, Абеля - Коши. "Мы не нашли там ни одной разумной мысли". Пытался найти формулу для решения уравнений выше 4й степени. Отрицательный результат - может быть тоже положительным результатом... Доказал, что не существует общих формул для нахождения общих решений выше 4 для произвольных уравнений. Признак сходимости рядов Абеля. Интегрировал сложные функции, теория эллиптических и гиперэллиптических интегралов. Этой проблемой занималась ещё Ковалевская потом, на основе результатов Абеля. Он поправил Коши - в критерии равномерной сходимости. Всегда был беден, занимался частными уроками... Доказал, что если уравнение алгоритмически разрешимо, то его корню всегда можно дать такой вид, что все алгебраические функции, из которых он составляется, выражаются через рациональные функции корней данного уравнения.
Эварест Галуа. (жил 21 год) В школе набунтовал и был очень умным. Активный борец с королевской властью. Анархист, республиканец... работы - тоже бунтарские. Попытался поступить в Высшую Политехническую Школу. Ему задавали очень сложные вопросы, он показывал пренебрежение к таким простым вопросам, за что его не взяли. Второй раз пошёл поступать. Не способным. Поступил в "нормальную" школу. Её закончил, продолжил писать труды в области алгебры. Поставил перед собой цель решить проблему разрешимости уравнений высоких степеней. Ввёл новые алгебраические образования - группы. Попал в тюрьму за ссору с директором, когда вышел - поссорился с другом (из-за либо политических разногласий, либо из-за девушки). Результат - дуэль, и перед дуэлью написал на всякий случай все свои результаты, их потом долго понимали.) Галуа доказал, что для всякого уравнения Pn(x)=0 можно в той же области рациональности найти некоторое уравнение Q(x) = 0, называемое нормальным. Корни исходного и нормального уравнения выражаются друг через друга нормально. Нормальное уравнение - это уравнение, обладающее тем свойством, что все его корни рационально выражаются через один из них и элементы поля коэффициентов. Все подстановки корней нормального уравнения образуют группу G. Это и есть группа Галуа уравнения Q(x), или, что то же самое Pn(x)=0. Она обладает замечательным свойством: любое рациональное соотношение между корнями и элементами поля R инвариантно относительно подстановок группы G. Таким образом Галуа связал с каждым уравнением группу подстановок его де корней. Он же ввел термин "группа" - адекватное современному. Чтобы разрешимость уравнения в радикалах имела место, необходимо и достаточно, чтобы соответствующая группа Галуа была разрешима.
Становление современного математического анализа. Научная биография О. Коши
Матанализ. Проблема - приведение матана к современному виду.
Коши. Он перестроил весь матан на основе теории пределов (имхо лектора). Опубликовал 789 работ. (у Эйлера было побольше, да..) Области: диффуры, задача Коши, теоремы существования и единственности ДУЧП, ОДУ, работы по геометрии, алгебре, теории чисел, оптика, механика, ТФКП, читал курс лекций в политехническом институте. Начинает с понятия функции, классификация функций, разложение в степенные ряды, ввёл нормальное понятие бесконечно малой величины (через пробел). Непрерывность функции стандартизовал. Признак сходимости Коши. Критерий сходимости Коши для числовой последовательности. Сходимость рядов. Были и неверные теоремы сформулированы. Абель поправил его.) Доказал теоремы существования для дифференциальных уравнений с учетом условий начального состояния (задачи Коши). Доказал то же для линейной системы уравнений с частными производными, указав способ приведения к этому виду нелинейной системы. Развивал теорию вычетов не претендуя на приоритет перед Эйлером. В работах Коши впервые появилась интегральная формула.
Научные достижения Б. Больцано и К. Вейерштрасса
Больцано
Он преподавал богословие в Чехии. С точки зрения властей был очень неблагонадёжен. В конце концов его попросили со службы, и он удалился в деревню, где занимался математикой. И именно поэтому он не очень известен. В 1817 году доказал первые серьёзные теоремы. Дал строгое определение непрерывности; односторонней непрерывности; свойства её. В 1830 году Больцано построил пример функции, которая непрерывна, но нигде не дифференцируема - в пику Амперу. Если функция непрерывна, то ряд Фурье не обязан сходиться! Но вот построить такую функцию... пример Фейера, пример Колмогорова. Опередил Вейерштрасса, доказав теорему, что если множество вещественных чисел ограниченно сверху (соответсвенно, снизу), то оно имеет точную верхнюю (нижнюю) грань. Вывел критерий сходимости последовательностей. Доказал, что непрерывная функция принимает все промежуточные значения, лежащие между двумя ее различными значениями.
Вейерштрасс.
Развился как известный математик довольно поздно. Понятие предельной точки, всё, что с этим связано. Стал использовать понятия верхней и нижней граней числовых множеств. Достижение верхних и нижних граней. Он заинтересовался вопросом приближения функций многочленами. Активно использовал эпсилон-дельта-язык. Обобщил теорему Коши о разложении в степенной ряд функции комплексного переменного, непрерывной и дифференцируемой в кольце, образованном двумя коническими окружностями.
Научная биография П.Л. Чебышева
Пафнутий Львович Чебышёв (1821-1894) Родился в Калужской губернии, зажиточная семья до поры до времени. Поступил в Московский университет. Сделал работу "вычисление корней уравнения", за что получил серебряную медаль. Затем - по теории вероятностей защитил кандидатскую. Докторскую - по теории чисел. Публикаций у него было 80. Но все были исключительно ёмкие, и каждая - на новом уровне. С него началась настоящая теория вероятностей, приближение функций - до него этим никто не занимался. Механика - гениальные результаты. Теория чисел, теория интегрирования, тервер, теория приближения функций и общая теория полиномов. Задача кройки платьев - как поэкономнее. Подбирал проекции для карт, чтобы погрешности были минимальны. Первым сформулировал закон больших чисел; центральную предельную теорему и дал подходы к решению этой теоремы, используя метод моментов. Восстановил ситуацию с недоверием к теорверу (by Остроградский, в частности), вернул репутацию. Исследовал интегрируемость в элементарных функциях хитрых функций. !У него отношение к этому куда более прагматичное. Ему нужно не только знать, что он есть, а его построить. В отличие от Вейерштрасса.
Приближающие многочлены Чебышева
Прежде всего, поговорим о многочленах Чебышёва, приближающих функцию, непрерывную на [a,b]. Возьмем класс многочленов Pn(x). Рассмотрим максимальное уклонение полинома от функции. Поскольку это величина неотрицательная, то есть нижняя грань (напр. 0), следовательно, есть точная нижняя грань. Имеется в виду нижняя грань максимального уклонения среди всех многочленов n-ной степени. Грань называется наилучшим приближением функции. А сам многочлен, на которм она (грань) достигается, называется многочленом наилучшего приближения функции.
Научная биография А.А Маркова (старшего)
А.А.Марков-старший(1856-1922)
Родился в Рязани, долгое время работал в Петербурге. Внес большой вклад в теорию вероятностей и математический анализ. В честь Маркова названы цепи Маркова и неравенство Маркова. Аппарат марковских цепей был позже обобщен Колмогоровым. Цепи Маркова и скрытые марковские модели широко используются в CS.
Научная биография А.М. Ляпунова
А.М.Ляпунов(1857-1910)
Родился в Ярославле, в 1870 семья переезжает в Нижний Новгород.
В 1876 Ляпунов оканчивает гимназию с золотой медалью и поступает в Санкт-Петербургский университет (сначала на факультет естественных наук, затем переходит на математический)
1885 - магистерская диссертация на тему, предложенную Чебышевым (вращение жидкости и фигуры равновесия, возникающие при этом). С этого момента Ляпунов возглавляет кафедру механики в Харьковском университете, читая лекции по всем ее курсам.
1892 - докторская диссертация (задача устойчивости движения системы с конечным числом степеней свободы)
1902 - избирается в Академию Наук, переезжает в Петербург
1905 - книга о фигурах равновесия.
Ляпунов занимался теорией дифференциальных уравнений, гидромеханикой, теорией вероятностей. Основные результаты - в теории устойчивости и движения мехаической системы с конечным числом параметров.
Научная биография С.В. Ковалевской
Софья Ковалевская(1850-1891)
Родилась в 1850 в семье математика, получила хорошее домашнее образование.
В 1869 поступает в Гейдельбергский университет в Германии, в 1870-1874 учится в Берлине у Вейерштрасса.
С 1884 читает лекции в Стокгольмском университете, начав на немецком, но затем довольно быстро освоив шведский.
1888 - золотая медаль Парижской академии наук за открытие третьего классического случая разрешимости задачи о вращении твердого тела.
1891 - умерла от воспаления легких.
Ковалевская занималась астрономией, функциональным анализом, теорией потенциала, математической физикой. Она известна также и своими литературными произведениями (напр., "Нигилистка")
Основоположники теоретических основ программирования и современных ЭВМ
Философские направления в математике. Интуиционизм
отвержение теоретико-множественного подхода к определению математических понятий. Из логики исчезают законы двойного отрицания и исключенного третьего, поэтому становятся возможными только конструктивные доказательства.
Философские направления в математике. Логицизм
математика рассматривается как часть логики; любая математическая теорема в аксиоматической системе может быть рассмотрена как утверждение о логическом следствии. Это дает возможность доказывать теоремы автоматически.
Направление сформулировано Людвигом Готлобом Фреге. Он же попытался свести к логическим понятиям натуральные числа, но потерпел неудачу. Возникший при этом парадокс был обнаружен Бертраном Расселом.
Философские направления в математике. Формализм
Формализм. идеологом является Гильберт Все математические понятия и теоремы - символы и действия над этими символами, чисто формальными. Главный тезис - полнота и непротиворечивость, всё должно быть построено на чоткой аксиоматической основе, все выводы должны следовать чисто формально, не задумываясь о смысле выводимого, но если они выполняются, если нарушения в использовании аксиом нет, если все действия признаны допустимыми - то выводы правильны. Главное - полнота и непротиворечивость. Полнота и непротиворечивость, парни, полнота и непротиворечивость! Гильберт издал книгу "основания геометрии" в 1930 - там вся геометрия строилась таким образом. Он рассчитывал написать "основания математики" по этому же принципу - полнота и непротиворечивость - система аксиом должна быть такая, что бы воспользовавшись ею можно было доказать любое математическое утверждение.
Но вдруг 1931 - теорема Гёделя - о невозможности доказать непротиворечивость ни одной достаточно полной системы.
И это направление тоже терпит крах. Можно избавляться от некоторых аксиом, которые могут влечь противоречия - но теория получится более слабой - и теория такая перестаёт быть интересной.
Цель Гильберта - никуда не делась, вся математика идет по его направлению - стремится к четкой аксиоматике и непротиворечивости - несмотря на то что доказать это для интересной системы невозможно
