Функциональный Анализ, 03 лекция (от 21 сентября)

Материал из eSyr's wiki.

Перейти к: навигация, поиск

Предыдущая лекция | Следующая лекция

E1, E1[f ≥ a] = E[f ≥ a] ∩ E1,

Если E = ∪h = 1;&infin En, E[f ≥ a] = ∪h = 1;&infin En[f ≥ a]

Определение 2. Две функции f и g назыаются эквивалентными, если мера множества, на котором они не совпадают, равна 0. Обозначается f(x) ~g(x)

Теорема. Если f(x) измерима на измеримом Е, то и любая ей эквивалентная функция измерима на этом множестве.

Доказательство. E = E1 ∪ E2, E1 = E[f = g], E2 = E[f ≠ g] |E2| = 0 → |E1| = |E|

Определение 3. Какое-либо свойство выполняется почти всюду на измеримом множестве Е, если оно не выполняется на каком-нибудь подмножестве множества Е меры 0.

[править] Классы измеримых функций

Теорема. Если ф-ция f(x) почти всюду непрерывна на измеримом множестве Е, то она измерима на этом множестве

Лемма. Любая непрерывная функция измерима на замкнутом множестве.

Доказательство.Возьмём последовательность xn, которые сходятся к x. Докажем, что x принадлежит множеству: f(xn) ≥ a → f(x) ≥ a → x ∈ F[f ≥ a]

Доказательство теоремы. E = E1 ∪ E2, |E1| = 0. Из теоремы 8 параграфа 2 следует, что E~ принадлежит E2 |E~| = |E2|,

Замечание. Почти всюду непр. следует отличать от эквив. непр. Пример --- функция Дирихле, которая всюду разрывна, но эквивалентна непрерывной функции.

[править] Свойства измеримых ф-ций

Теорема 1. Пусть f(x) измерима на E. тогда |f(x)|, f(x) + C, C×f(x) измерима на E. Если g(x) измерима на Е, то E(f > g)измерима.

Доказательство.

  • E[|f| ≥ a] = E[f ≥ a] ∪ E[f ≤ −a], a > 0
  • E[|f| ≥ a] = E, a ≤ 0
  • E[f + c ≥ a] = E[f ≥ −C + a]
  • E[Cf ≥ a] = E[f ≥ a/C], c > 0, E[f ≥ q/c], c < 0, cf == 0, c = 0
  • E[f > g] = ∪_k=1^∞ E[f ≥ rk] ∩ E[g < rk]

Теорема 2. f(x) и g(x) измеримы на Е, f(x) {+|−|×|÷} g(x) измеримы.

Доказательство. Для сложения, вычитания, умножения (fg = ¼ (f +g)^2 − 1/4(f − g)^2) очевидно.

Деление: 1/g измерима:

E[1/g > a] = E[g > 0] ∩ E[g < 1/a], a > 0$ E[g > 0], a = 0 $ E[g > 0] ∪ E[g < 1/a], a < 0.

Далее воспользуемся умножением.

Теорема 3. f_n(x) --- последовательность измеримых функций на Е. Тогда f- = нижний предел при n → ∞ и f_ также измеримы на Е.

Доказательство. φ(x) = inf_n f_n(x), ψ(x) = sup_n f_n(x)

  • E[φ < a] = ∪_n=1^∞ E[f_n < a]
  • E[ψ > a] = ∪_n=1^∞ E[f_n > a]

Вспомним первый курс, что такое нижний предел:

  • f_ (x) = sup_n≥1{inf_k≥n f_k(x)}
  • f- (x) = inf_n≥1{sup_k≥n f_k(x)}

Теорема 4. Е --- измеримое множество, fn(x) --- последователь измеримых функций на Е, которые сходятся почти всюду к f(x), тогда f(x) --- измеримая функция.

Доказательство. Е --- объедиение двух множеств, где сходится (тогда см. теорему 3) и где нет (тут мера равна 0).

Определение 4. Сходимость по мере. Пусть Е --- измеримое множество. Последовательность f_n(x) состоит из измеримых, почти всюду конечных функций. Говорят, что такая посл. сходится к измеримой почти всюду конечной f(x) по мере, если: ∀ ε > 0 lim_n→∞ |E[|f_n − f| ≥ ε] = 0. Другими словами, для любого эпсилон и дельта больше нуля ∃N = N()&esilon; δ, n ≥ N, |E[|f_n − f] ≥ ε < δ

[править] Сочетание сходимостей почти всюду и по мере

Теорема 5. Пусть измеримое множество Е конечно: |E| < +∞. Пусть последовательность f_n(x) измеримых на Епочти всюду конечных функций сходится почти всюду к измеримой почти всюду конечной функции f_(x). Тогда f_n(x) → f(x) по мере.

Грубо из сходимости почти всюду вытекает сходимость по мере.

Пример, доказывающий необходимость условия конечности меры: E = R, f_n(x) = 1, x ∈[n, n+1]; 0, x ∈ E \ [n, n+1]. f(x) = 0, |E[|f_n − f| ≥ 1/2]| = 1. В каждой точке сходится к 0, но сходимости по мере нет. Один из вопросов, которые лектор не прощает.

Введё мтакие множества: A = E[|f| = +∞], A_n = E[|f_n| = +∞], B = E|E[lim_n→∞ f_n(x) = f(x)], C = A ∪ B ∪ [∪_n=1^∞ Aqn], |C| = 0

Лектор не поимает, зачем нужен этот столб (кафедра), чтобы все напрягались? Или, чтобы держать бутылку и... или почему розетку надо удалять на 60 сантиметров, а не на 60 e/π? Недавно лектор поздравил ученицу с тем, что ей e^3 лет.

∀ ε > 0: E_n = E[|f_n – f| ≥ ε]

  • R_n = ∪_k=n^∞ E_k, |E_n| ≤ |R_n|
  • R = ∩_n=1^∞ R_n, |Rb| → |R|
  • R_n \ R = ∪_k=n^∞ (R_k \ R_k+1)
  • эти множества не пересекаются, поэтому мера объекдинения сумма мер
  • |R_1 \ R| = ∑_k=1^∞ |R_k – R_k+1|

в силу конечномерности этот ряд сходящийся, остаток стремится к 0, и:

  • R_n = R ∪ (R_n \ R) ↔ |R_n| → |R|

Осталось доказать, что мера R равна 0. Возьмём x_0 ∉ C. Тогда ∀ ε > 0, ∃N = N(x_0, ε), ∀n ≥ N, |f_n – f| <ε. Это означает, что x_0 ∉ E_N, n ≥ N, а значит, x_0 ∉ R_n, а значит, x_0 ∉ R. Отсюда |R| = 0.

А следует ли из сходимости по мере сходимость почти всюду. Нет, и во втором курсе был контрпример.

Возьмём отрезки вида [k-1/2^n, k/2^n]:

  • I_1 = [0, 1];
  • I_2 = [0; ½]; I_3 = [½; 1]
  • I_4 = [0; ¼]; ...

f_n(x) = {1 на I_n, 0 вне I_n}. Тогда для любой точки x найдутся как n, для которых f_n(x) = 1, так и f_n(x) = 0. Но при этом есть сходимость по мере к f == 0.

Предыдущую формулу иногда называют теоремой Лебега.

Есть одно слово, которое на одном из языков, русском или украинском пишется с одной с, а на другом с двумя. Это можно на бутылочных этикетках посмотреть.

Теорема 6 (теорема Рисса). Е --- множество конечной меры, f_n --- множество измер. почти всюду конеч. ф-ций сходится по мере к f, тогда из неё можно выделить подпоследовтаельность, которая сходится к f_x почти всюду.

Доказательство. Определим E_k = E[f_n_k – f ≥ 1/k], тогда для любого k найдётся такое n_k, что |e_k| < 1/2^k.

Далее R_n = ∪_k=n^∞ E_k; |R_n ≤ &Sum;_k=n^∞|E_k| < 1/2^n-1 → 0$ R = ∩_n=1^∞ R_n; |R_n| → |R|; |R| = 0

Далее выбрасываем R и доказываем, что всюду вне R есть сходимость.

Пусть x_0 ∉ R. Тогда найдтся n: x_0 ∉ R_n; x_0 ∉ E_k, k ≥ n, тогда |f_n_k(x_0) – f(x_0)| < ½, n_k ≥ n, а это означает, что в x_0 сходится, следовательно, везде вне R сходится.

Теорема 7. Е --- изм. мн-во конеч. меры, посл-то f_n(x) измеримых почти всюду конечных ф-ций, к-рые сходятся по мере к f(x) и g(x), тогда f(x) ~ g(x).

Доказательство. E[|f – g| ≥ &epsion;] ∈ E[|f_n – f| &ε/2] ∪ E[|f_n – g| &ε/2] . Меры двух множеств справа стремятся к 0 (из сходимости по мере). Тогда и мера множества слева стремится к 0. E[f ≠ g] ∉ ∪_n=1^∞ E[|f – g| ≥ 1/n]. Так как мера любого множества справа равна нулю, то и мера множества слева равна 0.


Функциональный Анализ


01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16


Календарь

пн пн пн пн пн
Сентябрь
07 14 21 28
Октябрь
05 12 19 26
Ноябрь
02 09 16 23 30
Декабрь
07 14 21

Материалы к зачёту
Список вопросов | Список задач


Эта статья является конспектом лекции.

Эта статья ещё не вычитана. Пожалуйста, вычитайте её и исправьте ошибки, если они есть.
Личные инструменты
Разделы