ОКФиКВ, 09 лекция (от 09 апреля)

Материал из eSyr's wiki.

Диктофонная запись: http://esyr.org/lections/audio/philmath_2008_summer/QP_08_04_09.ogg

Мы ввели три оператора поворота... Мы доказали, что такое предс. оператора поворота эквивалентно такому представлению: ... . Это легко доказать разложением экспоненты, и получается либо чётная степень экспоненты, ... и тогда легко разложение экспоненты свернуть вот к этому. В прошлый раз подошёл студент и спросил, как это сделать для y и z, ведь x это not, в других случаях всё не так тривиально. Покаженм это. Доказываем точно так же , выражаем экспоненту и получаем либо чётные, либо нечётные степени оператора z. А что такое оператор z? Это оператор изменения фазы, ну и, если мы применим оператор z два раза, то вернёмся к исходной фазе, то есть меняет фазу на противоположную. То есть, чётное яисло z --- единичный оператор, а нечётная степень z --- сам оператор z. Дело состоит так же, как и с x. С y чуть сложнее, тут надо использовать такую формулу: xz = -iy. При доказательстве этого соотношения для случая y надо перейти сначала по этой формуле к xz и при разложении появятся либо чётные, либо нечётные степени, а теперь мы знаем, что x чётное, z чётное --- деиница, нечётное знаем как работает. После обратного преобразования получится соот. нечётная степнь y. Так доказываются все соотношения.

Итак, есть операторы поворота, они действительно поворачивают вектор Блоха, совершая кубитовые операции. Когда будем рассм. простейший кубитовый алгоритм, решения задачи Дойча, в случае кубитовым и n-кубитовый кв. комп, где получается эксп. выигрыш, увидим, что нужны одноукбитовые операции, операции поворота на сфере, и двухкубитовая операция CNOT (управляемый NOT). Как делается операция поворота? Спин регулируется магн. полями. Берутся две катушки, а в центр помещался образец со спинами. В одной катушке протекал ток постоянный, а в другой --- переменный. В результате по оси z возникало постоянное поле. Именно так первые эксперим. и проводились. А на второй катушке переменный ток I = I₁₀ = cos ωt, ω ~ 10⁸ c^-1. В результате, создаётся вдоль оси х переменное поле. И вот нам нужно записать уравнение Шретингера для спина и решить это уравнение. Мы хотим исследовать временную революцию кубита. До этого решали статическую задачу и получали спектр возм. сост, теперь же решим динамическую задачу. Мы сделаем некую операцию, которая сильно упрощщает рассм., это приближение вращ. волны. У нас есть линейно поляризованное вращающееся вдоль оси х поле, представленное след. образом: 2B₁₀ cos ω t e^_x = B₁₀(cos ω t e^_x + sin ω t e^_x) + B₁₀(cos ω t e^_x - sin ω t e^_x) То есть, вектор, оссциллирующий вдоль оси x, разлагается на два, вращ. в противополож. напр. Окажется, когда есть пост. магн.ю поле, то вектор спина прецессирует вокруг этого паоля с опр. частотой (чатстотой прецессии), которая зависит от этого поля. При этой прецессии вектор спина оказывается в резонансе (осциллирует синхронно) только с одним вектором, который вращается в ту же сторону, а второй постоянно сбивается по фазе, и действие только одного опля оказывается существенным. И мы можем выбросить только один вращающийся вектор, оставив один из двух. Это приближение и наз. приближ. вращ. аволный. В приближ. вращ. волны мы имеем следующее: B₁(t) прибл.= B₁(cos ω t e^_x + sin ω t e^_x) Тогда получаем:

H = -μs × B
...

Вот мы приготовили гамильтониан. Введём магнитон Бора: ... и обозначим h&omega';₀. Тогда каноническая форма гамильтониана будет иметь такой вид: ... . И мы его обозначим следующим образом: ... . Теперь вспоминаем уравнение Шредингера, полное уравнение Ш. Оно имеет такой вид: ... . Есть какое-то начальное сост ψ при t=0, и оно переводится в сост. при произв. t. Это базовая операция. Вводим новое сост, которое явл. вращ. по отн. к исходному. При этом мы избегаем высокочаст. осцилляции. Исх. сост. φ(t) получается след. образом: ... . Лектор это записал для того, чтобы получить уроавн. Ш. для нового сост. И тогда получаем: ... . Теперь мы делаем следующее: действуем оператором ... слева на левую и правую часть. Тогда получаем: ... .

Вот уравнение Ш. для нового вектора. Зануление этого фактора как раз соотв. резонансу, и это будет тот случай, когда вектор ... бегует синхронно вектору спина с частотой прецессии (арморовской прецессии). А если бы мы учли второй вклад, для этого случая появился бы сдесь плюс, а не минус, и никакого резонанса не была, получилась бы высокочаст. компонента, а нам нужно медл. изменение. Ещё две формулы и перейдём к обсужд. физ. ситуации.

Эти отн. кажутся странноватыми на первый взшляд. Как их доказать. Используем такие формулы, которые следуют из представления матриц Паули, такого типа соотношения:

...

Тогда получим:

...

Всё, что не нужно, сокращается, и получается такое простое уравнение Ш. Как видим, все временные множители, факторы устранились, и мы можем сразу теперь записать операторное решение этого уравнения. Какой вид оно имеет: ... . Поскольку ... часть не зависит от времени, то сразу записываем решение: ... . Чтобы понять физ. смылс этого решения, рассм. два пред. случая.

1. B₁ = 0. Тогда ω = 0, Ω = 0. в этом пределе иссл. наше решение. Оно имеет след. вид: ... . Что это есть? Это есть операто поворота на угол ω₀t. Вектор спина при выключении радиочаст. поля, только в пост. поле, прецессирует вокруг оси z, равной ω₀, котораяф поропрц. амплитуде пост. поля. Меняя амплитуду поля, меняем част. прецессии. Возможно, стоит почувствовать это в большей степени, обратившись к постулатам квант. мех. --- каждой физ. вел-не соотв. оператор, а каждой наблюдаемой --- ср. знач. оператора. Давайте вычилсим. сред. знач. оператора. Давайте зададим ψ₀. Это сост. играет выдающуюся роль в квант. выч., в квант. компьютере. Именно в это сост. переводятся кубиты перед началом выч., и это даёт эксп. выигрыш. На Блоховской сфере где находится вектор? Здесь он находится. Начальное сост. есть у нас. Теперь мы его должны преобразовать в соотв. с нашим решением. Мы с помощью этого решения вычисляем проэкцию на ось z, сначала при t = 0 это сделаем. Лектор берёт транспонированный вектор, меняет ..., получаем: ... . Вот среднее значение этого оператора. Это 0. Тогда получаем: ... .Вот три ср. знач., характеризующих проекцию на ось. ... Если лектор вычислит среднее значение оператора x в момент времени t, то результат ... .
2. Другой предельный случай, реализуется резонанс. ω = ω₀. Лектор ещё раз запишет общее решение: ... . Тогда этот фактор исчезает, и остаётся решение в таком виде: ... . Если выполняется условие точного резонанса и есть два срещенных поля, то осущ. поворот вокруг оси x за время t на угол ωt по часовой стрелке. Таким образом, если мы имеем срещивающееся поле, то ..., причём мы можем контролировать ... . Если выдовабите ещё одно поле, то вы осуществите поворот, оставив поле постоянным, но добавите поле вдоль оси y, вы повернёте вдоль оси y на угол за время t, таким образом, в соотв. с квантовым алгоритмом, вы сможете совершать любые повороты на Блоховской сфере, это и осущ. экспоненциальный выигрыш. Из этой нач. точки вы можете повернуть в любое конечное сост. Вот тако осущ. упр. спином и так осущ. однокубитовые операции.

Есть теорема, которая утв., что для осущ. или реализ. любого алгоритма достаточно полного набора однокубитовых операций и двузкубитового оператора CNOT.

Мы факт. прошли тото подг. курс. КМ, который необзодим для понимания того факт работы квант. инф., кроме одного знания. КМ сост. из соверш. независимых частей:

• Подг. и врем. эфолюция в соотв. в ур. Ш. ... На этом заканчивается первая часть вект. мех.
• Нушна ещё одна часть: мы получили необх. сост. Как провести измерение? И то, как провести изм., не связано с КМ, и состоит из двух постулатов. Этими постулатами мы дополним Ш-скую КМ, и тогда у нас будет полный путь к изучению ... . Чтобы понять это принципы, нам надо понять, как провоодить измерения. Они просты, но странны, и именно здесь возникает неудовлетворённость КМ у тех, кто её изучает, включая самих создателей.

У нас есть квантовый регистров, состоит из n кубитов, и, чтобы извлечь инф., нам нужно провести изм., в каком сост. они находятся. Для того, чтобы провести изм,, нужно ввести изм. базис --- набо двух базисных векторов, например |0> и |1>. Когда эти вектора удобны? Например, когда у нас есть установка, напр. вдоль оси z. Тогда гамильтониан ... . Базис выбирается в соотв. с конфигур. эксперим. установки, тогда записывается намильтониан для этой ситуации, и тогда оператор измерения, z, умнодается на поле, и в качестве базиса берутся собст. вектора этого оператора: z|0> = |0>, z|1> = -|1>. Эксп. установка конфиг. в соотв. с изм. значениями, мы изм. z.

Первый постулат измерения. Ввёл фон Нейман, это было вне связи с Ш-механикой. Применительно к кубитам. В результате изм. сост. кубитов ψ получается либо состояние |0> с вероятностью |a|², либо сост. |1> с вероятностью |b|².

Что это эксп. даёт нам? Вот наша эксп. установка, и в неё влетает спин в произ. сост |ψ>. Так вот, в единич. акте изм. мы получим либо |0> с вероятностью |a|² (то есть, отклонится сюда), либо сост. |1> с вероятностью |b|². То есть, ... . Измерение необратимо губит инф.

Но если у нас есть суперпоз. сост, то этот постулат применим и в этом случае. Происх. необр. инф. коллапс. Экспериментально это подтв. всегда. Поэтому постулаты приняты.

Второй постулат измерения: если в рез. изм. получили 0, то кубит остаётся в этом сост. до какого-то нового с ним преобразования. Если получили 1, то он и остаётся в сост. 1.

Лектор не будет сейчас рассм. пример со скрещ. полями, поэтому сейчас закончим, но полседнее замеч.:

Резюмируем: представьте мебе, что есть выч. устр. квантовое, сост. из n, кубитов, и в рез-те получили ответ, это суперпозиц. сост, сост. из n кубитов, жто очень слож. сост, но в рез-те изм. мы получаем либо 0, либо 1, то есть из каждого кубита получ. 1 бит классич. инф. Кажется, этот постулат губит весь выигрыш --- мы получили рез-т, но изм. его не можем. Оказывается, нудны опр. алгоритмы, задачи, когда по одному изм. можно извлечь глобальную инф. Да, после изм. инф. необр. исчезнет, однако нам достаточно будет одного изм, чтобы извлечь требуемый результат.