Философия математики, 06 лекция (от 24 марта)

Материал из eSyr's wiki.

Диктофонная запись: http://esyr.org/lections/audio/philmath_2008_summer/PM_08_03_24.ogg

В прошлый раз лектор рассказывал о философии и математике Платона, о мифе о пещере и о теории разделённого отрезка. В результате мы видели, что Платон выстраивает некую онтологическую пирамиду. Вверху Благо=Единое, внизу Материя. Материя выступает как принцип множественности, изменчивости в платонизме. Между верхним и нижним полюсами располагаются какие-то уровни, и от перехода снизу вверх нарастает множественность, дурная множественность. Это имеет и отношение с тем, с чем имеет дело математика. Если мы спросим, где находится то, с чем работает математика, числа, фигуры, то этот ответ не так прост, каким он был в прошлый раз, когда мы сказали, что математик находится посередине. Да, эта серединная область является ... для математика, но по Платону числа находятся на всех уровнях.

Возьмём треугольник. Во-первых, по Платону существует эйдос треугольника, умопостигаемый, и, наверное, единственный. Далее, есть ..., и мы получаем геометрический трегольник. Здесь треугольник уже не единственный. Если мы спустимся ещё ниже, то получим чувственное восприятие: можно сделать чертёж, превратить в нечто чувственновоспринимаемое, воспользоваться треугольником при создании чувственновоспринимаего предмета. Причём переход этот от единственного к множественному. В эйдосу треугольник один, дале геометрических треугольников много, и одно геометрическое соотношение может использоваться многократно.

Так устроен весь платоновский ... . Каждый нижележащий уровень есть отражение предыдущего и его умножение. Причём, Платон говорил о материальности, но исключительно в отношении чувственновоспринимаемых вещей. Неоплатоники ... . Метериальность она различная на разных уровнях. Материальность чувственновоспринимаего не такова, как та, которая в воображении. Материальность в сфере чувственновоспринимаего связана с уничтожением и становлением, с невозможностью воспроизвести, и здесь в чистом виде повтора нет. В частности, сколь угодно много могут рождаться люди, но все они будут разные. Все эти события — система случайных отклонений от образца. Соотвенно, если мы говорим об уровне воображаемого, то здесь большая устойчивость, но здесь одно и то же геометрические соотношения можно воплощать на чертежах. Все чертежи будут разные, но они будут чертежами одного и того же. Здесь в каком-то смысле эти геометрические соотношения есть действительная множественность, но здесь они устойчивость.

Если поднимемся выше, то тут тоже есть множественность, но она своеобразна. В эйдосе идей много, но эта множественность подчинена странному закону: всё во всём, здесь всё внутри всего находится, всё тесно связано. Из любого эйдоса может быть увиден весь мир и другие эйдосы. Здесь степень единства максимально высока. Выше мы только можем подняться в точку, где всё едино. Тем не менее, Платон выделяет срединный уровень. По Платону, эйдосы фигур, эйдосы чисел не есть сфера интересов математики. Заключения в математике гипотетические, есть некий более высокий уровень, где эти объекты есть. Но математик не работает как таковой непосредственно с эйдосом, он работает с отражениями, с тем, что от них зависит. И, опираясь на эти предпосылки, он способен давать развёрнутые суждения и даже, чего Платон не одобрял, применять на практике. В дисциплине мысль движется сверху вниз. Диалектическая же мысль по Платоны движется снизу вверх. Поэтому и занятия математикой будут правильны, поскольку они помогают в этом процессе восхождения, они позволяют построить мостик.

...

Учение о том, что материальность бывает самая разная, есть у Плотина. Учение о единице есть у Аристотеля. Для разъяснения позиции Платона лектор привлекал дальнейшие идеи.

[править] Аристотель

Несколько слов об отношении Платона и Аристотеля: с одной стороны, Аристотель — ученик Платона, он провёл 20 лет в стенах платоновской академии, и только после смерти учителя основал собственную школу. В то же время, Аристотель имел очень активную и резкую критику Платона. С другой стороны, являлось ли это уникальным для Аристотеля? Вообще говоря, нет. Ведь и у последователей Платона не было никакого согласия. Платон вообще не создавал некую общешкольную догму. Он создавал творческое пространство.

Платоники предпочитали видеть скорее согласие между Платоном и Аристотелем, нежели противоречие. Хотя и не игнорировали противоречия. Если мы посмотрим ..., то утверждать, что есть линия Платона, есть линия Аристотеля — перебор, с другой стороны, можно утверждать, что есть вещи, которые можно возвести к Платону, к Аристотелю. На известной картине Рафаэля Платон вознимает руку в небо, Аристотель — к земле. И действитекльно, у Платона преобладает мотив бегства из этого мира в некий божественный мир обратно. Что же касается отношения Платона к сфере чувственно воспринимаего, преобладает впечатление о том, что чувственно воспринимаемое непостижимо и непознаваемо. Чувственно воспринимаемое служит неким толчком, чтобы запустить механизм припоминания. Нет специального знания, которое было бы знанием чувственно воспримаемого. Школа Аристотеля уделяет много внимания к сфере чувственно воспринимаемого. До сих пор удивляются скурпулёзности, с которой описана сфера чувственно воспринимаемого мира.

С другой стороны, если посмотреть на теоретические достижения Аристотеля, то он разработал систему понятий, исходя из Платона, но разработал самостоятельно так, что можно говорить о сфере чувственно воспринимаемого. В тоже врем сохраняются вещи узнаваемые. Например, Аристотель говорит, что знание может иметься о том, что всегда, как минимум, большей частью. Аристотель описывает кинезис (движение)...

...

Если мы спросим, какие основные достижения Аристотеля, какие основные понятия он вводит? Здесь надо сказать, что Арисотель вводит различие сущности и её свойств. Во-вторых, это вообще самое главное открытие Аристотеля, Аристотель вводит различие бытия в возможность и в действителность. На этом различии построены все наиболее важные его рассуждения. При этом, если мы возьмём этот важный ход.... что является первичным? Мы может сказать, что ЧВ-вещь, но она не является себе тождественно, но тогда бы она не была ЧВ-вещь. То есть, первично ЧВ-вещь существует как процесс. Дальше в отношении этого процесса можем водить некие различия. Можем сказать, что есть некий субстрат, некое свойство. Или можно сказать, что этот процесс — переход из возможности в действительность. Аристотель будет отталкиваться от понятимя материи, которое появляется в диалоге Тимей, но переосмысливает его. У Аристотеля материальность привязана к конкретному процессу. Поэтому сказать, что нечто является материей или формой, невозможно.

Есть некий единый процесс, и если всё к нему привзявается, то и то, с чем работает математик. Каким образом? Математик, введя различия, с помощью них пытается явно ответить, чем занимается математик. Нужно заметить, что у Аристотеля нет специальных трактатов, посвященных математике, более того, у него множество высказываний, которые равномерно рассыпаны везде, в самых разных местах, поэтому всегда это некая выборка, реконструкция. Неслучайно один из авторов 20 века писал сборник Аристотеля в виде трактата.

Если мы начинаем разбираться с этим процессом, то выясняем, что у процесса бывают сущности, есть свойства сущности.

...

Движущей причиной является формат, форма, она же целевой. Схоласты могут утверждать, что вот гнездо вьют, но птенцы отличаются. Если посмотрим подробнее, то нельзя сказать, что форма в конце или в начале процесса, можно сказать, что процесс происходит потому, что есть форма. На этот вопрос Аристотель отвечает в трактате, учении о чистых формах. Это учение крайне непонятно в деталях.

Итак, оказывается, что все процессы возможны благодаря сфере ума-перводвигателя. Она приводит в движение небесные тела и через них всё остальное. В каком-то смысле всё происходит потому, что наличествует в уме-перводвигателе. И нельзя сказать, что она существует до, во время или после, поскольку это основа существования. ... Благодаря этому существуют чувственно-воспринимаемые процессы. Эти процессы и есть некая форма, которую они пытаются воспроизвести.

Какое отношение имеет это к математике? Поскольку Аристотель сказал, что предметы существуют ... не в действительности, а в возможности, то возникает вопрос, с чем работает математик: с материей или с формой. Да, математик не может работать без наличия материи, но предмет интереса — форма. Да, формы обнаруживаются нами внутри конкретных процессов, но сами процессы возм. должны существовать в уме-перводвигаетеле, который напоминает сферу эйдосов. Да, ум-перводвигатель не описывается так подробно, как эйдосы, он действительно похож на сферу беpтелесного, нельзя cказать, что он находится в конкретном месте, тем не менее, Аристотелю никуда не удаётся от этого деться. В итоге оказывается, что мы всё равно вынуждены оперировать. в сфере чистых форм.

Но всё же, обратим внимание, Аристотель всё-таки какие-то вещи интересные проговаривет. Например, есть количество ... Вообще, фраза, что математика изучает количества..., она имеет корни у Аристотеля. Во-вторых, появляется понятие абстракции, то есть нечто, которое существует в процессах, но рассматривается как независимое. У Аристотеля есть ещё ряд интересных вещей.

Для дальнейшего окажется важным ряд вещей, которые Аристотель говорит о бесконечности. Соотвенно, глава есть в аристотелевской физике. Что касается бесконечности: вообще, как относились к бесконечности в античности, вообще к бесконечности в античности относятся отрицательно, это понятие как нечто неопределенное, это нечто, соотвующее сфере материальности, неопрделенности, неустойчивости. Если мы вспомним пифагорейскую пару предельное-беспредельное, то предельное связано с эйдосами, беспредельное — с материей. Тем не менее, в математике бесконечность себя проявляет. Это было понято в связи с понятием числа, когда мы можем бесконечно продолжать ряд чисел. Во-вторых, уже в конце 5 века Зеноном были построены знаменитые апории, то есть, было известно утверждение о бесконечной делимости отрезка. То есть, отрезки бесконечно делимы. Отрезок понимался как линия, то есть конечный. Обратите внимание, что для греков линия конечная. Тем мне менее, линия разная, и один из постулатов Пифагора постулирует, что мы можем удлиннить линию, но бесконечности нет.

Второе, почему проблема бесконечности вылезает в проблемах о физике? Математик работает с конечными вещами, ... то есть космос конечен. Аристотель приводит ряд доводов в пользу этого утверждения. Например, в бесконечной вселенной невозможно было перемещение. ... У движения есть некая цель, а если цель состоит в перемещении, в чём здесь может быть цель? Прийти в определенное место, но для этого должна быть выделенная система мест, но в бесконечно равномерном, бесконечном космосе таких мест не будет. А так космос конечен, в нём есть абсолютная система мест, есть центр, есть периферия. А тут получается так: математик работает с конечными телами, но можно и работать с бесконечными, как это возможно? И Аристотель вводит рассуждение, которое в дальнейшем тоже будет знаменито. Мы уже сказали, что у Аристотеля есть различ возможности и действительности. Аристотель: можно скзаать, что пример бесконечен, но он бесконечен в возможности, но не в действительности, то есть эта бесконечность потенциальна, не актуальна. Другими словами, что, собственно, здесь делает математик с точки зрения Аристотеля. Каким образом, всё увеличивая линию, он может не вылезти за предлы космоса: геометра не интересуют абсолютные длины, его интересуют только отношения, поэтому всегда можно представить структуру такого размера, которая в космос поместится. То есть, мы постоянно корректируем размеры. За счёт этого всё тут укладывается по Аристотелю. С другой стороны, что из этих утверждений нужно вынести: математика занимается количествами, согласно Аристотелю, математика работает только с потенциальной бесконечностью, кроме того, Аристотель подчёркивает, что всё, что он может делать, он может делать, используя только потенциальную бесконечность. При этом это представление будет серьёзно держаться вплоть до конца 19 века. Кантор в то время много полимезировал на тему возможности работы с актуальной бесконечностью. Этот момент идёт от Аристотеля, и он исторически значим.