Философия математики, 08 лекция (от 07 апреля)

Материал из eSyr's wiki.

Диктофонная запись: http://esyr.org/lections/audio/philmath_2008_summer/PM_08_04_07.ogg

[править] Эпоха возрождения

В прошлый раз разговаривали о ситуации и о контексте, в котором математика существовала в средние века. Сейчас пора построить мостик через эпоху Возрождения к новому времени. И здесь надо обратить внимание на следующий момент: мы помним, что..., мы говорили о том, что на первый взгляд, вроде бы, образ Бога-геометра и особое отношение к роли человека в мире, сотворённом Богом, которые приносят с собой христианство, должны создать благоприятную почву для развития математики. Но мы этого в средневековьев не видим, и мы говорили, почему это так. И, чтобы перейти к эпохе возрождения, надо сделать маленькое замечание: те моменты, которые блокировали такой взгляд на роль математики, начинают отступать на периферию, парадоксальным образом. Есть впечатление, что острое ощущение греха отступает на задний план, и на передний план начинают выходить те моменты, о которых мы говорили. Человек эпохи возрождения начинает ощущать себя богоподобным. Любопытно, что здесь ничего не нужно придумывать, о богоподобии человека говорит христианство, говорится, что бог создал человека по своему подобию, но это не воспринимается. как переживание наличия, реального богоподобия. А здесь начинает переживаться именно таким образом. Начинает ощущать, что человек обладает божественными возможностями. Потому, что его таким сотворил Бог. Основная интенция идёт к тому, что вопрос о происхождении и подобии Богу идёт на периферии. Основная культурная интенция идёт по извилистой цепочке от теизма к деизму и атеизму. Расцвет ... мы получим в 18 веке. Понятно, что ... эту интенцию называют тенденцией к секуляризации.

Теизм — представления, согласно которому мир существует благодаря тому, что Бог создал его и поддерживает. Мир завязан на Бога. Если Бог перестанет поддерживать мир, то он вернется к первоначальному состоянию.

Деизм — мир такой, какой его сотворил Бог. Но дальше мир имеет автономный статус. Развивается он, имеет некие собственные законы. Если мы будем вопрошать о сотворении этих законов, то мы упрёмся в Бога, в божественное творение.

Такое ... в некоторой степени наивно. Отношение между творческим созданием мира и его существованием в следующий момент времени наивно. Бог создаёт мир в некий момент времени, а в следующий момент он на него влияет? Но видна интенция о том, что мир автономен, оперировать божественным началом как можно меньше и по возможности аппелировать к чему-то, что существует в мире. На след шаге мы просто начинаем говорит, что мир таков, какой он есть не потому, что бог его таким сотворил, а потому, что он такой есть. Мы отказываемся аппеллировать к некоей инстанции за пределами этого мира. Это некая голая схема, но переход к такой схеме можно утверждать.

Секуляризация, десакрализация, умервщление — предст. о культуре, которое не завязано на культ и общение с Богом.

Эпоха возрождения — та эпоха, где появляется иной образ человека. Человека, который да, создан богом, но который не завязан на Бога. Да, человек создан богом, но дальше он ... . Более того, человек начинает противопоставлять себя богом, малый творец, пытается во всём не уступать божественному творцу. Он хочет понимать мир не хуже, чем творец, действовать не хуже. Здесь появляется образ возрождения человека. Почему центральными фигурами эпохи Возрождения являлись художники, люди искусства? Но если мы к ним приглядимся, то увидим, что они не похожи на людей искусства позднего времени. Художник эпохи Возрожения, он в первую очередь универсальный человек. Он интересуется, пытается, наподобие творца, который один и теоретик, и практик, и думает, и воплощает, аналогично художник — и мыслитель и воплотитель вплоть до технических навыков. Он хочет всё знать, они интересуются всем. И всё это — один и тот же человек.

Вспомните того же Леонардо да Винчи, но не только его. Появляется круг людей такого типа. В этом контексте видим, что здесь с лёгкостью снимаются барьеры, которые существовали в течение эпохи. Ещё у греков существовали различия между теорией и практикой: есть арифметика и логистика, то же самое будет и в эпоху средневековья: с одной строны будут обрывки теоретической математики, наряду с этим будет и некая практика. Для средних веков есть ещё одно убежище для математических знаний: расчёт пасхалий. Астрономические знания сами по себе — вещь странная и сомнительная, но, тем не менее, для них есть некое убежище. Церковный годовой круг расчитывается очень сложно, соотственно есть неизменные праздники богослужения, есть сдвигаемые, в основном завязаны на Пасху, и для рачёта требуются далеко не самые примитивные правила, расчёты. И это тоже умение, знание расчитывать время. Кроме того, здесь появлялась и хронология (умение расчитать год от творения мира). Но опять же здесь снимаются барьеры средних веков. Возрождаются античные знания, но там опять же были эти переборки, но интенция, что человек — конкурент творца, и тут обнаруживается, что с лёгкостью начинают сниматься эти барьеры: человек хотел быть на вершине теоретических знаний, и тут же практические расчёты, он всё это начинал сравнивать. И действительно, мы видим тексты, которые видим в ту эпоху, например, трактат ... . Достаточно показательной фигурой того времени будет Лука Пачолли. Он примечателен, так как будет таким посредником — с одной стороны, он универсальный преподаватель, с дргугой стороны он вхож в круг художников, и начинает писать трактаты, дабы объяснить для широкого круга художников теоретические знания. Появляется вот такая интересная среда.

На что лектор ещё хотел бы обратить внимание. Фигура... наверное, слово магия хорошо было бы упомянуть. Эпоха Возрождения — эпоха расцвета оккультных знаний. В тоже время появляется интересный образ — фигура возрожденческого мага. Во многом, учёный нового времени возьмёт ряд черт этой фигуры, хотя сознательно будет дистанцироваться. Попробуем сформулировать, что представляет собой возрожденческая фигура мага. Что такое магическое отношение? Лектор сейчас предлагает некие общие схемы. Они упрощенные, но тем не менее. Попробуем в общем виде понять, кто такой маг и что такое магическое отношение к миру. Для магического отношения к миру характерна рецептурность. Что представляет собой магия? Набор магических формул/рецептов, который включает набор действий, слов; есть набор действий, и образ магической книги — сборник рецептов. Соотвенно, маг этими формулами владеет и умеет пользоваться. Обратите внимание на следующий момент: формула предполагает собой некий автоматизм: всегда предполагается если формула выполнена правильно, то неизбежно должен быть получен эффект. Если эффект не получен: либо мы напутали в осуществлении формулы, либо формула неправильна, но предполагается, что есть некая правильная формула. Задумаемся, что должен представлять собой мир, чтобы он допускал магическое такое отношение? В этом мире не должно быть свободных личностей, поскольку если мир охвачен сеткой магических формул, то никакий свободы тех существ, которые в нём есть, не предполагается. Нам только кажется, что они свободны, но лишь до тех пор, пока мы не знаем, за какую ниточку дёргать. Похоже, что до конца эту мысль в эпоху Возрождения не продумывают, поскольку люди эпохи Возрождения представляют себе мир как живое существо. Но на самом деле, что такое живое существо? Оно предполагает спонтанность реакции, нечто такое, что не может быть полностью просчитано, что не подчинено формулам. Тем более, если мы вспомним, где маг поставлен над всем миром, понятно, что в этот мир входят и остальные люди, а не только растения, животные, духи (в зависимости от представлений о космосе). На самом деле, если додумать эту мысль до конца, то получим хорошо известную формулу, которая появится явно только в 17 веке: мир есть механизм, некая машина. Появится аналогия механицизма. На самом деле она есть вывод этого магического отношения к миру, поскольку он оправдан только в этом случае. Вот такая вот кратина.

В итоге, что мы имеем? Какое место здесь начинает занимать математика? Какое место бога-геометра в этой картине? Образ бога никуда не исчезает. Но появляет образ человека-геометра, который способен управлять миром посредством чисел и фигур. Если мы спросим по поводу контекста, то увидим, что если мы возьмём тексты писателей того времени, то у них будет такая математическая магия. Интересно, что постепенно, к XVI веку эта мысль высветится в чистом виде, и математика есть приоритетное магическое средство и орудие. Именно это понимание математики мы найдём в начале ноового времени (16 — 17 — нач. 18 вв.) — мир — машина, человек над ней, способен постигать этот мир, чтобы управлять им, и главный инструмент — математика. Любопытно, что математика попадает в этот контекст, и что обнаруживается: математика становится универсальным оружием, и становится, что математике подичнено всё в этом мире. И это отличие от античных представлений. У Платона наш мир не подчинён математике. Небесная сфера хорошо ей подчинена. Но подлунная область не очень хорошо математике подчинена. А здесь уже оказывается, что если мир создан и продуман Богом до основания, то Бог как геометр, его действия должны пронизывать мир до последней глубины, глубже только воля божья. Здесь появляется представление об универсальной подчинённости математике. ... Как бы забывают. Это будет характерно для нового времени, возрождения. Мы не встретим вопрос о падшести этого мира. Ни у Декарта, который аппелировал к Богу, ... . Вопроса падшести мира здесь нет.

Итак, действительно, человек-геометр, человек, который стремится установить власть на этим миром, задачи мага именно такие, он желает подчинить мир и оперировать им по своему усмотрению. Появился контекст, отличный от античного.

Лектор хотел и не показал две картинки, т. к. они нарисованы позже, в самом конце 18 века, но выражают то же отношение. Это картины, принадлеж. Уильяму Блэйку.

Важно поставить их рядышком. Здесь картины Бога и Ньютона. Бог создает этот мир, а человек получает возможность властвовать посредством геометрических расчетов. Если приглядеться к картине с Ньютоонм, то похоже, что Ньютон не только голый, но и под водой. Что он делает под водой? Если бы мы читали Платона, то мы поймём, о чём речь. У Платона есть ещё один миф, где люди уподоблены обитателям подводного мира, мир как бы подобен впадинам, лужам, залитым водой, и мы думаем, что есть только эта лужа, но на самом деле есть ещё и воздушный мир. Возможно, что Блэйк обыгрывает эту платоновскую аналогию.

Дальше посмотрим, что говорят о математике два представителя нового времени — Декарт и Лейбниц. Это самые крупные математики и философы того времени.

[править] Рене Декарт

Если мы посмотрим такие произведения Декарта, как ... и ..., то можем обнаружить его некоторые размышления о том, что он вынес из своего обучения, а он обучался в ... заведении, это ... . И Декарт, подводя итог своему образованию, говорил следующее: все знания человеческие для него отчётливо разделились на две группы, и обе его не устраивали, по разным причинам. В первую из таких групп попала математика, во вторую — всё остальное. Когда речь идёт о математике, речь в первую очередь идёт речь об античной математике. Его не устраивает ни одна часть, ни другая.

Чем его не устраивает математика? Математика восхитила Декарта тем, что можно получать абсолютно достоверные результаты. В самом деле, попробуем вспомнить какую-нибудь теорему Пифагора, один из древнейших результатов, тем не менее, нас до сих пор убеждают эти утверждения. Тем не менее, его не устраивает математика. Ибо это отвлечённые рассуждения, ни о чём. Абсолютно точные утверждения обо всякой ерунде.

Чем его не устраивает всё остальное (философия)? Тут всё с точностью до наоборот. Здесь речь идёт о важных и значимых для человека предметах, но тут никогда не знаешь, с чем имеешь дело. Всё перемешано, нет никакого способа отличить истину от лжи.

С одной стороны точный способ и ничтожный предмет, с другой — важные вещи и никакой точности. И отсюда получаем: как бы взять точный метод математики и да применить его к чему-то важному. Но сначала надо его извлечь, и это требует неких усилий. И Декарт предположил, что древние математики обладали этим предметом, но уталили его от нас, а чтобы мы ..., они представили математику древних. Соответственно, Декарт берётся извлечь то, что он в дальнейшем будет называть истинным методом познанием, с другой, в правиле руководства ума у него есть некий текст: истинную математику следует называть не заимствованным словом, а старым, но не так давно вновь вошедшим в употребление именем "всеобщая математика". Речь идёт о слове "алгебра", которое заимствовано из арабского и означало одно из правил оперирования в уравнениях. Всеобщая математика на латыни — mathesis universalis. Название примечательное, поскольку mathesis может также быть переведена как наука.

Но почему же это древнее, но не так давно вошедшее в употребление? Дело в том, что это название восходит к Аристотелю, точнее, к комментарию Прокла к первой книге Евклида, а он уже опирается на Аристотеля. У Аристотеля есть пара мест, где он ссылался на всеобщую математику. Откуда у Аристотеля появилась идея о всеобщей математики? Аристотель ввёл представление о всеобщем абстрагировании, и в соотвии с ним знания можно выстраивать в виде иерархической лесенки по степени абстрагирования. Внизу находится "техно", техника. Выше идут практические науки, связанные с неким действием. Выше идут теоретические, умозрительные науки, из которых три основных. И они снизу вверх идут так — физика, математика, первая философия (что в дальнейшем станут называть метафизикой), причём, как мы знаем, физика исследует то, что связано с движением, изменением, и если мы от него отвлечемся, то останутся количественные величины, то останется математика, если отвлечся и от них, то останется существование и несуществование, этим и занимается первая философия. Математика составлена аналогично — снизу музыка, астрономия, они ближе к физике, и непонятно, куда их относить, в одном месте Аристотель говорит, что астрономия есть самая физическая из астрономических наук; дальше геометрия; дальше — арифметика. Начало геометрии — точка, арифметики — единица, а точка — единица, имеющая. положение. Но тут Аристотель замечает одну вещь: в современной математике есть целый ряд утверждений, которые не имеют ни специально геометрическую, не специально арифметическую природу, и применяются и там, и там: если к равному прибавить равное, получат равное, и речь может идти о чём угодно. Или всевозможные правила преобразований пропорций, отношений.

По логике вещей, что должно быть — должна быть дисцеплина, которая занимается подобными утверждениями, и она должна быть выше арифметики и геометрии, и она должна называться общей математикой, и она должна быть погранична с первой философией. Но дальше Аристотель не идёт. Но так или иначе слово произнесено, а авторитет у Аристотеля был огромный, и если у него слово произнесено, то так оно и есть. Дальше об этом упоминает Прокл в введений к комментариям к пятой книге Евклида, свод античных представлений, и эту мысль он употребляет. А дальше про эту общую математику, вскользь упомянутую у Аристотеля и Прокла, и куча математиков 16 века неожиданно вдруг это обсуждать, обсуждают, что имел в виду Аристотель под этим словом: то ли некую самостоятельную дисциплину, то ли совокупность имеющихся дисциплин. Вроде бы может показаться, чисто казуистический спор, но тогда почему они вдруг всполошились, 6 — 7 авторов — очень серьёзно. Почему вдруг стали общую математику поминать? потому, что от арабов начинают получать общие комментарии, и там это называется алгебра. Средневековая Европа ориентировалась на античные представления, а античные представления — квадривиум, и то, что арабы, это куда относится? Возникает момент, когда структура дисциплин перестает устраивать, она перестаёт быть адекватная реальной структуре знаний. Для изменения структуры нужно обоснование, а иделальное обоснование — ссылка на авторитетов, на того же Аристотеля. Поэтому здесь были основания, Декарт знал этих авторов, поэтому он неслучайно говорит о термине старом, но не так давно вновь вошедшим в употредление.

Здесь же, он говорит, что эта всеобщая математика должна быть сформулирована так, что мы должны установить эту меру так, вне зависимости от того, в чём она. То есть, некий универсальный инструмент, котрый можно применять к любому содержанию. Кстати, в связи с таким пониманием математики, обратим внимание вот на что: если мы посмотрим поздние произведения Декарта, суммирующие произведения, там в предисловии к этой работе Декарт рассказыват, как он себе представляет философию — в виде дерева. Корень — метафизика, ствол — физика, ветви — разные дисциплины. Среди них выделят три главных — медицина, механика, этика. Это как раз практические, прикладные области знаний. Человек действует в мире телесном, и медицина учит о том, как заботиться о теме. Механика — дисциплина о создании разных машин, и она рассматривает как расширение возможностей человеческого тела, соотвенно, создаются машины, механизмы, которые это расширяют. Этика — наука о том, как поступать в этом мире. Самое любопытное — в этом дереве нет математики. Для Декарта математика, которая воспринимается как отдельная дисциплина, имеющая свой предмет рассмотрения, не имеет своего места в этой системе знаний. Но универсальная математика — универсальный метод познания, способ построения всего дерева, а не какая-то его часть. Таким образом смотрит Декарт на математику. Кроме того, лектор подчеркивает утилитарную ориентированность, для Декарта всё знание работает на некий практический результат, древо познания существует для того, чтобы плоды собирать, либо непосредственно (плоды), либо опосредованно (ствол и корни). Всё ради плодов.

Следующий момент, касающийся взгляда Декарта. Как мы знаем, Декарт ... Следующий момент. Когда Декарт говорит о универсальном методе познания, Декарт говорит об правильной математике. И если мы посмотрим на его понимание, то увидим несколько особенностей: для Декарта метод универсальный. Если мы спросим почему, то прямого ответа не найдём, максимум — аналогия, как у Платона. Но на самом деле, аналогия следующая: поскольку Бог один, то и познающий тоже один, здесь нет специализации, здесь универсализм сохраняется, и он имеет теологические корни, так как Бог один. Кроме того, поскольку Бог один, то мир подчинён единому замыслу, он не возник из разных частей, мир един, и всё связано, к нему единый ключик должен быть, что ли. Это не прямой ответ, но намёк на контекст, в котором это понимание делалось для Декарта естественным. Кроме того, ... работает практически автоматически, навроде конвейера по получению достоверного результа. Причём, чтобы соорудить его, нужен гений, а чтобы им пользоваться, ничего особого не требуется. И примерно таким образом Декарт понимает метод познания. Декарт: почему, если древние знали метод, то они его уталили? Потому, что если бы они его сказали, то мы увидели бы, как всё просто и не восхищались бы ими.

Если мы вспомним, Декарт как математик чем известен? Аналитической геометрией. У Декарта есть одно-единственное произведение, книжку по математике, которую он написал. Ещё существует переписка, научных журналов тогда не было, учёных тоже немного, и в основном общение — корреспонденция, кроме того, в 17 веке это централизовалось, во времена Декарта был человек, сейчас незаслуженно забытый, Маррен Мерсенн, он был монахом, жил в Париже, ... . И очень часто письма представляли собой минитрактаты. И единственная книжка была выпущена как одно из трёх приложений трактата "рассуждение о методе". Чтобы показать, как работает метод, были три объёмных приложения: Диоптрика, Метеора (метереология) и Геометрия. Геометрия — был некий трактат, который демонстрировал его концепцию о методе. Именно благодаря этому произведению мы его помним. Если мы спросим себя, в чём главная идея аналитической геометрии, то увидим, что это мысль по созданию, получению конвейера по получению готовых решений. Декарта не устраивала античная, статическая геометрия, которая основывалась на дополнительном построении, но как его получить? Для этого требуется некий гений. Тут же преобразует геометрическую задачу в алгебраический вид, решаем её, преобразуем обратно. И идея аналитической геометрии состоит в алгоритмизации, получении конвейера. Понятно, как это вписывается в этот контекст. Некая алгоритмизация, рецептурность. И идея вычислительной техники восходит именно вот сюда. А дальше контекст лектор прорисовывал, но эта идея именно о том, что математика есть набор алгоритмов, мыслительных автоматистов. Кроме того, любопытно, что идеи, которые сейчас пристуствуют, идеи ИИ, она о том, что все проблемы можно решать на уровне алгоритмов. Эта идея восходит к Декарту, что всё должно быть подчинено универсальным алгоритмам.