Философия математики, 13 лекция (от 12 мая)

Материал из eSyr's wiki.

В прошлый раз говорили о ситуации на границе 19 и 20 вв, о трёх путях математики. Сейчас лектор хотел бы рассказать, что происходит в фил. мат. 20 века после этого. О каких-то ходах, которые соотв. ситуации, в которой противост. этих трёх напр. не явл. ключевым. Главное, что происхлодит, следующее: постепенный отказ от попытки дать некоторое прямое и оконч. решение пробелмы обосн. матем. Более того, приходит осозн., что матем. не нуждается в обосн., и любое обосн.., которое мы построим, будет самост. вещью, и любое такое обосн. будет просот ещё одним разделом.

Серьёзное влияние на ситуацию оказала фигура Людвига Виттгенштейна (L. Wittgenstein, Вена, Австрия). Один из известнейших и влиятельных философов 20-го века. Причём он действ. показывет этот переход. Л. в саомм начале 20-го векА, ещё до войны заинт. проблеймой обоссн. матем., причём он шёл здесь от прикл. матем., он первонач. получал инжинер. образование в области самолётостроения. Но вскоре он обнаружил, что его интерес от практ. задач переместились к природе математики. Он знакомится с ..., и тото ему сообщает, что самым активным деятелем в области обосн. является Рассел, и Л. тправляется в Кембридж и становится его учеников. Но тут не понтно, кто на кого больше влиял. Если посм. на переписку, то увидим жаркие споры, и в последствии трудно понять, кто ана кого больше повлиял, и в конце каждый из них выдвинет свою версию. Версию Рассела здесь рассм. е будем, лектор отсылат к его работам о логическом атомизме. Здесь рассм. взгляд Л., поскольку он отражает более тонкие, глубокие тенденции.

Чтоже касается Л., то начинается война, он уходит на фронт, попадает в плен, проолжает размышлчть о логикеп, пишет записные книжки, и дальше после оконч. Первой мировой он на основании этих записей. Вообще, Л. писал в основном аформизмами и дальнейшие его тексты есть их компоновка. Из этих афор. будет скомпоонован первый и последний текст, который Л. опубликует сам при жизни. Этот текст получит название "Логик-офилософский трактат". Этот текст появился на немецком, и где-то через год-два, в районе 21---22 года появлися авторизированный перевод на англ. В англ. версии в основном и стал всемирно известным. Причём сам Л. полагает, что завершл дело философии: всё, что можно было сказать, он сказал. Главный тезис Л. звучал так: то, о чём можно гвоорить, можно сказать ясно, о чём нельзя, лучше молчаьт. Тем не менее, текст оказался очень сложным. Л. оказался известным мыслителем.

После этого он исчезает на 10 лет в кач-ве философа и начинает заниматься разнообр. вещами. Он был из богатой семьи и планирует дом для своей семьи. Потом уезжает в глубинку и учительствует. Это длится в течение 10 лт, но потом что-то назревает, он постепенно понимает, что не всё, что изложил в трактате. Его понимание меняется. Потом он возвр. к фил. деятельности, возвр. в Кембридж, начинает вести занятия, довольно странные. Это т. н. поздний Л. И поздний Л., достойного с его взгляда текста так и не напишет. Тем не менее, происх. довольно любопытная вещь: он продожает писать эти наброски, кроме того, он ведёт занятия. Как вы понимаете, В К. всё немного проще, чем у нас, и преподаватель философии не обязан чиать много всякой муры, он может читать то, что хчоет. Вообще, это предст. импровизированные лекции, где он разм. на различные цели. Вокруг него форм. круг сумасшедших, Л. считает. что философии нет, но вокруг него форм. много учеников, они защищают диссертации, но сам Л. больше ничего не издал, не успел довести до конца. Позднее этот текст был издан под назв. "философские измышления", но он не был закончен. Тем не менее, тот корпус текстов, ученики сформировали новое течение, т. н. Кембриджская школа. Оказалось, что наследие Л. огромно: конспекты лекций, наброски, и т. д. Все остальные книжки Л. это такая подборка, которая сделана его учениками и душеприказчиками и издлаи в виде книги.

Л. не тольуо начинает с разм. над природой матем., не случайно он опирается на Рассела. Фактически, когда он возвр. к занятиями фил, он тоже это делает через математики. Существует непроверенная легенда: решающим аргументом для возр. для Л была лекция Брауэра. Л. один из немногих, кто удостоился, чья жизнь была интересна, неоднократна описывалась, ыбл снят худ. фиьм.

Так или иначе, возвр. Л. к философии происх через фил. мат. В 30-е годы он интенсивно разм. над матем. Существует большое кол-во фрагментов, существует две конмпоновки: "Заметки об осн. матем", и лекции.

екто возвр. к началу. Что здесь происх: Л. уже в Логико-фил трактате выскажет интересные мысли о природе матем. и логики. Он идёт от традиции логицистской, и читая Л., мы яано это увидим. Когда лектор читает этот трактат, но всё время вспоминатет Лейбница. И в общем, два осн аввотора, которых Л. вспоминает, это ... и Рассел. И там дост. много полемики с их логико-фил-мат представлении. Так или иначе, он в этом тракттате отвечате на вопрос, что предст. из себя логика и математика. Давайте попробуем ... лектор не знает, с какого конца подступиться, полный разбор трактаат требует долгого и серьёзного разговора.

Что здесь очень важно: здесь у Л., и он продолжает ту традици, коотрую заявил Р., и кооторая явл. магистральной для англ. фил. 20-го века, а именно Р. и Л. стоят у истоков того фил. напр,, которая наз. аналит. фиолософия. В чём особенности: она в том, что позднее назвали поворотом к языку, linguistic turn. Это название стало собенно популярно после того как ... издал антологию текстов под этим названием, где ыбыла подборка авторов, которые задали это напр. Осн идея в том, что рассм. происх. через призму язвка. Т. е., если мы хотим понять, что предст. нечто, то мы должны посмотреть, как это выглядит с т. з. языка. Если огрубить ситуацию, то можно выделеть две ветки: одна тяготеет к языке науки, науч. теори, и это напр. часто назжывают неопозитивизмом, логич. позитивизмом. Второе напр. связано с анализом обыденного языка, осн. акцент делается на нём. Это не значит, что язык науки игнорируется, но есть убеждение, что язык науки не может сущ. автономно, есть нечто, чот строится на его сонове. Надо скзаать, что у истоков обоих напр. стоит Л. Ранний Л. дал толчок для развития первого из напр. Поздний Л. дал толчок напр., связанному с анализом обыденного языка.

Что эе касается Л. и его трактата. Когда оно дало толчёк логич. эмпиризму, там была опр. группа, в Венском универ. существовал фил. семинар, коотрый объекд людей, связанных с наукой. Там реально моного было работающ. учёных. И этот семинар возглавлял Морренс Шлик, этот семинар в послю получил назв. венского кружка. В рамках кружка выросла некая лпатформа: они издавали журнале, были на окнф, появлились группы (напр. берлинская), которые поддерж. эти ижей. После присоед австриии к герм, когда Шлик был убит, группа эмигрировала в Штаты, там появлятся ученики, котрые учились у классиков напр: ... . Тем не менее, картина вот такая.

Тем не менее, венский кружок, когда выраб эту концепциюю, кстати он не был похож на др. фил. напр., они ен были похожи на фил., у них была уст. на выработку единой позиции, вообще как. фил. устроена% у каждого своя позиция, в венская школе писали книжки, вели полемику, вырабатывали общую позицию, и можно видеть, что её представители по ключевым позициям имели единое мнение. Так или иначе, любопытно, что один из ключ текстов, где они вырабатывали свою позицию, это трактат Л.. Т. и. и., венкий кружок вырабатывал свою философи. на основе трактата Л., но сам Л. считал, что нои всё поняли непр., то же касалось и Рассела, когда они встеритились после войны, то оба были разочарованы: Р. считал, что Л. ушёл в мистику, Л. считал, что Р. его не понимает. И когда Р, написал предисловие, то Л. отказался с ним трактат издавать. Тем не менее, Л. достаточно тонкий автор, и если пригглядеться, то можно увидеть, что концепуи логич. атомизма Р., отличается от концепции Л,, ка и позиция венского кружка.

О чём пишшет Л. в трактате: главная концепцуия, мысь лог-фил трактата: есть нечто о чём можно и нужно говорить, а есть нечто, о чём прямо говорить невозможно, поскольку они смысла нести не будут. И то, о чёим не может быть прямо скзаано, что с этим можно делать: это нельзя прямо сказать, но это можно показать или косвенно укащзать. Для раннего Л. это укзаывание на то, о чём мы не можем сказать посредством того, о чём мы можем говорить. И в посл. Л. писла, что у него две книжки: та, котрую он напи сал и та, которую написать невозм., и первой он пытался указать на то, о чём написать нлеьзя. Трактат устороен дост. своеобрадно: в основе 7 афоризмов, остальное --- комментарии к ним. Фактически, весь трактат можно предст. в виде дерева. Эта тема, котрая совершенно далека и непохожа на то, чтоесть у Рассела, но она опред. и непохожа на ост.

О чём говорится явно: сначала Л. строит концепцию, которую называет миром, первый афоризм: "мир есть всё, чем случилось быть". Дальше оказ., что мир есть совокупность фактов, а не вещей. Дальше он вводит ещё рядж понятий, междукототрыми строит тонкие оттношение, дальше появляется понеятие языка, и далее он выяснят отн. между миром и языков. "Мир есть совок. фактов" --- афоризм 1.1, "язык есть совок. предложениц" - 4.0.0.1, у мира и языка единая ... форма. Ещё у Л. есть понятие логики, причём логика эта такая штука, о которой напрямую гвоорить невозможно, он логику сравнивает со строит. лесаим, которые позв. куда-то взобраться и впосл. могут быть отброшены. Если мы попробуем выяснитбь, что за соотн. имеются между языком и миром, то увидим, что осн. коцепция трактата --- взаимод между языком(?) и миром, они изоморфны, иеют одинаковую структуру, и увидим, что ситуацию можно перевернуть, и что рассм. в виде оригинала, что в виде образа, и это можно перевернуть, и Л. лишь констатирует их соответствие. Тут же оказывается одна любопытная вещь: язык есть нечто, что явл. образом мира, дальше он рассм. язык ка сосвок. педлож, дальше он проводит соотн., дальше замечает, что соотн. это обратимое, и важный афоризм 4.0.1.4: "граммофонная пластинка, музык. мысль, партитура, музык. волны --- всё это стоит в том же внутр. отнош,, что стоят язык и мир, ". Важно: язык воспр. факты, но предложение сами явл. фактами. Есть пластинка, етсь партитура, представим, что есть партитура той музыки, что записана на пластинке, у всех у них единая структура, и что мы будем считать образом, что прообразом, сказать трудно, можем лишь скзаать, что есть соотв. И мы можем сказать, что язык воспр. мир, с другой стороны язык есть чатсь мира, но это как в ситуации, когда часть равномощна целому. Более того, у Л. в опр. смысле язык вбирает в себя всё, что есть в мире, аф. 5.6: "границы моего языка есть границы моего мира".

Такая картина. Как же быть с логикой? Что это такое? Тут всё сложно. Логика --- вещь, которая не может быть каким-то прямым образом сказано, это то, что проявляет себя вовсём: в языке, в фактах, прич м в мире Л. нет развития, тут ничего не происх., для Л. есть совок. фактов., при этом это аналогично Лейбницу, ... мир есть всё, чему случилось быть. Причём нельзя ответить не только что етьс, но и чему случилось быть. У него есть афоризм в конце, в котором он говорит 6.44: "мистическое это не тот, как мир есть, это то, что он есть". Мы можем как-то об этом говорить, но мы будем выявлять форму этого мира, мир сущ. в логич. пр-ве . А. 1.3: "факты в логич. пространстве есть суть мира". Мы можем считать, что язык с мире, мир в логике и языке. При этом, Лоигка не отражением мира, о логике нельзя говорить прямым образом.

Когда Л. говорит о матем, он рассм. её изнутри ращгоаора о логике. В трактате есть один главный аформизм, который посвящён математике, 6.2, дальше есть аф. 6.3, который тоже имеет прямое отн. к матем, но уже к прикл. матем. 6.2: "математика есть логический метод. Предложения матем. явл. уравнениями, то есть псевдо предлож.". Псевдопредложения --- предложения, которые напрямую не соотв. фактам. 6.2.1: "Предлож. матем. не выраж никакой мысли" 6.2.1.1: " ... ". 6.2.2: "Предложения мира, которые показ. ... в тавтологии, в матем показываются в уравн". Для логики предлож логики, как и матем., есть псевдопрдле. Но предлож логики Л. характеризует как тавтологию, а матем --- как уравн. При этом, ни те, ни те, не соотв. конкр. фактам. Тем не менее, эти предлож. на самом деле нечто о мире говорят, но не прямым образом. Они в своей совок., в том, как они работают, связаны, показывают, как устроен мир. Главная хар-ка предлож матем: они ничего о мире не говорят, но позв. переходит от одних предлож. к другим, тем самым можно сказать, что и они что-то говорят о мире, поскольку то, что поз.в перейти от одних факт. предл. к другим, говорит о мире, но нельзя в мире ткнуть в факт, который соотв. конк. псевдопредлож.

Дальше для Л. важно следующ:. дальше он переходит к поясн. того, что такое уравн,., као он его понимает: 6.2.3: "Если два выраж связаны знаком равенства, то это озн., что они звзаимозам., но имеет ли это место, должно быть видно из самих предлож." То, что они взаимозамен,, не апел. ко внеш. факту., это должно быть видно в них сами. 6.2.1: "св-вом утв. явл. то, что оно ... двойное отрицанияе. Свойством 1+1+1+1 является то, что оно может пониматься как (1+1)+(1+1)". Итак, для Л. действ. очень важно, что предлож матем. прямым обр. ни к чему не отсыл., и правильность этих переходлов опред. их структурой и непоср. усматривается. Чуть дальше увидим, что логич. эмпирики возьмут что-то от этого.

6.3: продолжает развивать важнейшуб мыслть: мы увидиле, что предлож. матем, взятые поотд., ничего не гворят о мире, но взятые в совок., вместе с ттеми факт. предлож., между которыми позв. соотн строить, уже о мире говорят, то есть о мире гворит некая целая система, появл идея, котрую в посл. назвоут идеей ... . "Иссл. логики ялв. иссл. всей закономерности, а вне её всё случайно". Далее 6.4.1: "Например, Ньютоновская механика: приводит опис. мира к единой форме. Представим себе белую поверхность, на которой в бесп. расп. чёрные пятна. Тепрь говрим, какую бы картину они бы не образовывали, я могу сделать сколь ..., покрывая поверхность квадратной сеткой и говрая о каждлой ячеке, белая она или чёрная. Таким образом, я буду приводить описание к единой форме. При этом форма произвольна, возможно было бы применить треугю сетку .... Различнымс сеткам соотв. различ. описания мира. ... говорит, ... Какое бы здание ты не захотел воздвигнуть, ты его ... только из этих кирпичей". 6.4.2: "Теперь мы видим соотн. между логикой и механикой (напр ...), то факт, что картина может опис. сеткой данной формы, ничего не гворит о картине, ибо это отн. к любой картине этого рода, но картину характ. то, что она может опис люьой сеткой любой чатсоты ... аналогично, ...." 6.3.4.3: "Механика етсь попытка постр. по единому плану ..." 6.3.4.4: "Всем своим планом ..." .На что лектор хочет обратить внимание: на ... . Всем своим видом ... нечто говрит о мире, указывая на его логич. форму.

Что из этого взяли логич. эмпирики венского кружка? Они взяли вот что: они пришли к выводу, что предлож. матем не соот. матем ни какой факт. То есть, у нас бывают эмпир. предложения, и бывают предлож логики и матем, которые никаким фактам не соотв. кроме того, бывают всякие ... тем не менее, про эти предлож. Л. что говорил: их ист. усматриваетсянепоср. Эмпирики говорили, что их истинность усм. из устройства мира. Например ... "все собаки --- животные". На мне нужно ..., это предлож. истино в силу опред терминов ... это устр. языка. Как таковое оно ничего не говорит о мире,

Далее получается знаменитая классиф. сужд. о мире:

• Эмпирические суждения
• Суждения логии и матем, котрые истинны в сидлу того, как устроен язык
• БЕссмысленные, которые не могут отнесены ни к первому, ни ко второму И здесь огромны пласт их критики к метафиз. тексты, котрые сост именно из таких предлож.

Для Л. философия --- деятельность для прояснения того, как устр. наш язык.

Что ещё они возьмут: в том же ключе предст. венского кружка будут классифиц. кант класиф. сужд: аналитические (), эмприические (синт. апост.), предлож. матем(синт априорные). Идея эмпир. в том, что они отризацют сминт. арпиор. утв, и остаётся два противополож. типа.

Хорошо, как обстоит дело упредст. венского кружка с предлож, о чём Л. кговорит в 6.3: здесь главная рпоблема, котоаря была спровоцирована неевкл. геом., связана со статусом. гемоетрии, каккова геом. реального физ. пр-ва, и то реш, которое принимают предст. венского кружка слеж: нудно отлич. физ. и мат. геом. Мат. геом чисто аналит., априор суждения, и единственный критерий, который к ним применим, сформуклирован ,Гильбертов --- внутр. непротиоречивость. Но каогда начинаем накл. сетку, появл. физ. геом., ... . Не просто три типа объектов, а опр. образом опнимаемые объъекты. А дальше, как это применять --- вопрос удобства. Одна исс. описания может оказ. проще, другая сложнее. Но это уже вопрос другой, и вопрос, который решается с т. з. удобства, то есть, исп. прагматические критерии выбора. В Этом смысле решать вопрос поздний ..., исопльзуя ... введёт понятие языкового каркаса. Если мы имеем дело с некими объектами нашей теории, значит ли, что они сущ., или нет. Он отвечает так: если овпрос, сущ. ли электроны или ещё что-то, то вопрос неопр. На самом деле, нужно различ внутр. и внеш. вопр. о сущ. Внутр. вопрос ставится внутри конкр. языкового каркаса. Внеш. вопрос двух типов: вопрос, пост. просто так, тогда это бессм. фил. вопрос, либо это вопрос об осм. принятия соотв. язык. каркаса как целого, но тогда этот вопрос может решаться пргам. образом. А внутр. вопрос ставится в рамках теъ яз, правил, которые мы построили. Если мы построили каркас, то имы можем спрашивать, существует нечто или нет. Пока же каркас не выбран, не понятно, о чем спрашщивать, но зато есть вопрос об осм. выбора каркаса как целого. Тем не менее, ..., ка предст. венской школы, держится за жёсткую дихотомию апост.ю и апр. суждений, разд. языка и мира. Но, если мы пригляыдимсяя к раннему Л., то увидим что его ранне предст. о языке не позв. это сделать., увидим, что язык и мир анастольк опереплетён, что отдельить и противопоставтиь их не удаётся. В позднем Л. это виднее. ... Если непонятно, на каком еязыке говорит ..., ... . Этот вопрос нельзя по Л. поставить, нлеьзя говорить прямым образом. Таким о., по Л. картина мира ... солипс. образом., но это не ... солипсизм, а методологический солипсизм. У на нет никаких способов эо отличать.

У поздн. Л. появляются носители языка. Если у раннего Л. непонятно, что за язык перед нами, то ли это иделальный язык, от ли это обычный язык, похоже, что в трактатае это и раличить-то нельзя, то у позднего Л. явно говорится, что это обыденный язык, и там появл. ист. измерение. В логико-фил. трактате изменение отсутствует., еслтьь набор фактов, оно просто говорит о мире.

... понятие позднего Л., это понятие языковых игр. ... Языковая игра --- неразл. уелостность произносимых слов и действ., с ними связанных. Мы видели, что язык не отрывался от фактов, то здесь это видно так, чо языка, который сущ. отдельно от действ, не сущ. В этом см., яз. игра это неразрывная целостность действий и произн. слов. иИ особ. этих игр, что они отдельно нигде не хранятся, это постоянно меняющееся многообр., где каджлая я. и. связана поср.копирование образцов. И такая вот открытая сеть взаимосвяз. я. и и есть язык. Язык у позденего Л. такой. И в этом констексте он см. на метаем. Она окз погружённой в контексте этого языка.

В рез-тэ отго довольно люопытно, как Л. смотри на каие-то проблемы, с котороыми возидись ....

Из этого солип... подхода, который у Л есть слдует, что на само деле ту дихотомию, которую хотел провести венский кружок, на самом деле провести нельзя. Это очень тонко сделает одщин из самых влиятельный амер. философов Уильям Квайн (W. V-O. Quine). Он ученик ..., и эту мысль в конце 50-х говдо разовьёт в статье "две догмы эмприизма". Две догмы: это то, что можно провести разделе ..., и вторая --- можно выделить такую вещь, как чистый опыт. К. подр. образом показывает, что все эти способы, которыми пытаются выделить суждения, попадают в тупик, не рботают. Чиот делает К.: он берёт проблем. венского круджка и корр. в соотв. с поздни Л. ... пережд нами еидный сплав, в окторой присту ... моменты, но у нас нет инстр., который позволял бы отдельить их дркг от друга. ... К. разв. сх. тему, исп. техис, который наз. тезисом Дюгема-Квайна. Идея сост. в том что на саомм деле, когда мы пытаемся выяснить, сотв. ли теория опыту или нет, мы можем подтв. или опроверг., но нельзя, что ... след уств, мы подтв/опревоерг теорию как целую, но ... . Опять же мы видим целостность, но не прямым образом ... как часть некой научнлй теории, отсюда же появится характерное джля этого подхода рещение проблемы реализма. Когда мы занмались Д., Л., ит ак далее, то ..., здесь же этого нет, поэтому тези следующий: если ... настаивал на том, что мы принмаем яз. каркас, но из этого неследует, что. приняв эти термины, мы признаём сущ. объектов, но он был убеждё, ночто можно разделить, К. считает, что разделить нельзя. ... Если ничего лучше этой теории не имеетсяы, то нам придётся признать их сущ. ... Он говорит, что существовать есть ... . В свзяи с этим он гооврит об антологич. обязательствах. Поэтоу выхо следующий: они ещё людят говорить о лукчшей в наст. момент теории, причём в выборе теории работают прагм. критерии,нельзя укзаать истинность теории, можно её выбрать, но это несёт послед ... . В отн. матем эта мысль получила название indespinsobility(?) argument (аргумент неизбежности), который есть в эих работах Квайна, его выразит ... . Идея очень простая: коль скоро наши лучше нацч. теории исп. опр. мат. апаррат, то нужно признать сущ. и обыекты, с которыми он работает. То есть это реализм, но реализм контекстульаный, он обосредован целостностью, он не абсолютен, а опоср., и ... работаем с прагм. аргументации.

Квайн, сняв дихиотомию ..., снимает дихотомию осмысленного и бессм. У него оказывается, что утв., которые мы можем делать ... но он говорит, что им нельзя принять некий тсатус и поставить над наукаим. Нельзя отделить теорию позн на первую философию и противопост её ествествознанию как второй философии. Это знаменитый тези об ... ... . Оказывается, что теория позн и ест. науки наход на одном уровне и бораз крут. И поск. это всё время меняющ. пространство, никаокго порочного круга не происх. Эта позиция получила назв натурадизма. И это одно из очеьн популярныз напр. в англояз. философии.

В след раз поговорим о других напр.