Философия математики, 10 лекция (от 21 апреля)

Материал из eSyr's wiki.

В прошлый раз мы обсуждали взгляд на математику Декарта и Лейбница и вообще говорили о философии математики нового времени, т. е. 17-го — 18-го вв., и сейчас хорошо бы перейти к новому крупному философу, который сказал нечто важное о математике. Речь идёт о Канте. Но прежде чем переходить к Канту, важно сказать некоторые вещи о Декарте и Лейбнице, которые ранее не говорились и которые нужны для правильного понимания Канта.

Дело в том, что с Декартом связывают то открытие, которое сам Декарт называл "когито" — "я мыслю". Но с тем же успехом можно использовать слово "сознание". Можно говорить, что Декарт открыл — сознание. Здесь открытие в том, что Декарт обнаружил другой способ философствования, другую отправную точку философских рассуждений, отличную от отправной точки, которая была характерна ранее. Понятно, что у того, что делает Декарт, есть своя предыстория. Конечно, когда мы говорим об открытии Декарта, которое формируется чаще всего в виде одной фразы Cogito ergo sum — "Мыслю, следовательно, существую". Близкие пассажи можно найти у блаженного Августина, и Декарт на него опирается, но у Августина это не центрально, а Декарт этот момент обнаруживает, причём не просто так, а как исходную точку понимания процесса познания. Правда, можно заметить, что всех выводов, которые можно сделать, Декарт не делает. Декарт фиксирует этот факт, но дальше пойдёт на попятую и возвращается на позиции традиционного философствования. И она начинает существовать и приносить свои плоды. В общем-то, позиция Канта задаётся линией, которая начинается с открытия Декарта.

Декарт говорит о том, что с нашим сознанием есть определенная проблема, оно представляет собой смесь истинного и ложного, и мы должны пересмотреть и построить заново образ мышления, чтобы не допустить ложь. Начинает он это делать любопытным образом: в качестве отправной точки он избирает любопытный момент. В своём... он формулирует приницип достоверности. Декарт формулирует этот принцип достоверности следующим образом: "признавать в качестве достоверного только то, что представляется моему уму настолько ясно и отчётливо, что не вызывает сомнения". Из этого следует довольно любопытный проект: подвергнуть сомнению всё, что может подвергнуться сомнению, и не выяснить, нет ли чего, что нельзя, и если такое найдётся, то это что-то и будет положено в качестве краеугольного камня. И в трактате размышлений о философии Декарт описывает подобное мероприятие. Действительно, Декарт выясняет постепенно, что что ни возьми, в этом можно усомниться. В том числе и собственные ощущения. Хорошо, говорит Декарт, есть ли такие моменты, которые не зависят от того, во сне или наяву? Например, 2 + 2 = 4. Предположим, есть такие вещи. Но допустим, есть злобный демон, который меня морочит, и каждый раз когда я складываю 2 + 2 то он говорит, что это 4, а на самом деле 5. Но может ли быть так, что этот демон не сможет действовать? Да, если меня нет, как меня мыслящего. Соответственно, во что Декарт упёрся. В основу принципа достоверности. Мы можем сомневаться не далее, чем...

Что здесь любопытно: Декарт явным образом выявил некую любопытную позицию, которая состоит вот в чём: "Я мыслю. Но я в конце концов могу ничего не знать, не знать, что я Декарт, что я живу в такое-то время, я такого-то пола, и так далее; я ничего этого не знаю, что всё это не так; но я знаю, что я считаю себя Декартом, я воспринимаю свою руку, и т.д. Пока я утверждаю только это, я не могу утв. Может у меня и нет никакой руки, но пока я нахожусь в сфере истины." Здесь есть некий проект, который был осуществлен в итоге ..., и он будет называть это феноменологической редукцией. Это сфера феноменологического исследования.

Надо сказать, что сам Декарт не очень последователен. После того, как он обнаруживает некое мыслящее Я. Декарт непоследователен в том, что как только он его получил, он пытется построить новые утверждения, запрячь это в старую позицию. Что делает Декарт: пытается доказать, что Я не Бог. ... В итоге Декарт отказывается от утверждения, что мы отказывается утверждать от того, что наход за границами восприятия (?) На самом деле, мы ничего не теряем, если ...

Посмотрим, что происходит. С этой мыслью дальше? Что у Лейбница? Лейбниц строит метафизику монад. Мы увидим удивительную вещь: у него существует бесконечно много мыслящих Я. Он понимает, что сферу сознательного должны дополнить сферой бессознательного. И если у Декарта единственное, то у Лейбница этих Я бесконечно много. Но все они герметичны. И когда Лейбниц доказывает существование Бога, он делает одну тонкую ошибку. Лейбниц изначально постулирует, что миров бесконечно много, и каждая монада — герметичный мир, в который не может ничего проникнуть. Но почему нельзя ограничится только одним миром с одним центром. Лейбниц делает это из каких-то своих посылок, в книге постулирует. ... Хорошо, монад бесконечно много, но как их сопрячь между собой? Не будет ли это то же самое, что как если бы их нет. Лейбниц выходит из этой ситуации за счёт того, что у него есть Бог, некая супермонада, не просто монада, она создаёт все эти монады вместе со всем их содержанием. Но что значит творит? Бог Лейбница продумывает всё, у него всё подчинено точному учёту. В определенном смысле эти миры-сознания погружены в некое сверхсознание Бога. Оказывается, что эти монады абсолютны прозрачны для Бога, они являются частью его. А как же творение, независимость? Позже здесь скажут, что есть несимметричное отношение между монадами и сознанием Бога: для Бога каждая монада прозрачна, для монады сознание Бога трансцендентно. Позже, в 19 веке, это назовут пан... . Здесь очень важно, что ... Комментарий к Лейбницу: лектору представляется, что в какую-то такую картинку всё сходится. Мы оказываемся в позиции, когда есть сверхсознание, всё остальное — его часть.

Что получается, когда идём дальше? Что делает Кант? Кант начинает своё главное произведение, в котором он и говорит о математике, а именно критику чистого разума. Он ставит один любопытный вопрос: каким образом в разных областях познания разные результаты. С одной стороны есть математика и естествознание. С другой стороны, есть метафизика, где никак не могут договориться, как закладывать фундамент. Но. Для чего лектор вспоминает эту ммысль: для того, чтобы сформулировать главную идею, сам Кант называет это "коперниканским переворотом в философии": "что вокруг чего вращается? Субъект вокруг объекта или наоборот? Так же до Коперника предполагали, что солнце вокруг Земли, а Коперник пришёл и сказал, что наоборот. Аналогично раньше считалось, что объект незыблем и субъект должен подстраиваться под объект, но надо ... предписываем природе те соотношения, которые нам нравятся"

...Действительно, когда первичной точкой отсчета рассматривается то, как я мыслю, а не наоборот. Вспомним античность: для них основной отправной точкой являлось устройство космоса. ... Как описывает эту картину сам Кант: он делает следующее: для него это разделение уже произошло. Ведь, фактически, Декарт вводит некий дуализм: есть некий субъект, Я, есть нечто, что он познаёт. Причём имеет дело не с самим предметом, а нечтом другим, со своим представлением о предмете. Есть человек, есть предмет, человек наблюдает предмет, у человека образуется образ, и тогда его уже можно наблюдать. Есть вещи, есть сфера явлений, это само по себе. Два уровня рассматривает Кант. И этот метауровень скорее философский.

Ненадолго составим коллизию с двумя парадигмами, лектор иногда это будет называть парадигмой античности и средних веков (онтологические парадигмы), когда постулируют устройство мира; а подход Декарта — гносеологичической парадигмой.

А теперь к тому, где у Канта находится математика. Для этого надо вернуться к началу Критики ... Чистого Разума. Введние посвящёно классифированию суждений. Кант в этом введении все суждения делит с одной стороны на априорные и апостериорные, с другой стороны на аналитические и синтетические Эти два деления с т. з. Канта независимы, рассмотрим их по отдельности.

Априори и апостериори. Понимают как предшествующее опыту и последующее опыту. Как это можно предположить реально: человек пилил ветку, на которой сидел, и упал. Что он пилил, если априори известно, что он упадёт? Но если попытаемся узнать, откуда это, то мы будем апеллировать к опыту, если не своему, то предков. Вот Кант приводит пример с подкапыванием фундамента дома, но Кант сразу говорит, что понятие "априорный" будет использоваться в более жёстком смысле — суждение, предшествующее всякому возможному опыту. Тут мы можем удивиться, и первый вопрос — а откуда мы знаем, что такое есть? И здесь мы хотим спросить у Канта, есть ли такие суждения, и почему они являются такими. И Кант предлагает критерий, который позволяет отличать априорное от апостериорного — необходимость и строгая всеобщность. То есть, след. утверждение мыслится как необходимое и строго всеобщее. При этом может ли Кант привести какие-либо примеры? Может, самые яркие примеры — примеры математических суждений. В качестве таких суждений Кант приводит простые арифметические, геометрические и иные суждения. Хорошо, почему Кант полагает, что утверждение 7 + 5 = 12 является необходимым и строго всеобщим? Мы в принципе не можем представить ситуацию, когда это изменяется, но почему Кант полагает, что ... Предположим, что мы с ним согласны, что в нашей системе есть предположения, которые опытом опровергнуты быть не могут. Следующий вопрос — почему мы не могли прийти к этому из опыта? Потому, что не могли. Опыт — констатация. Мы можем утверждать, что пересчитывали и получали это какое-то количество раз, но опыт не может дать необходимости и констатации. И Кант в этом убеждён.

Следовательно, эта наша убеждённость берётся не из опыта как такого. И тогда Кант говорит следующее: что мы можем не уметь считать, но если мы уж научились, то 7 + 5 = 12. То есть, учимся мы из опыта, но не всё из него получается. Тогда откуда это взялось? Это рассмотрим позже. Пока отметим, что есть такие утверждения, которые опытом получены быть не могут, и у них должен быть свой источник.

Дальше. Кант различает аналитические и синтетические суждения. Надо понимать, что Кант аппеллирует к традиционной логике, мысль о том, что всякое суждение имеет субъектно-предикатную форму: Субъект есть Предика или Субъект не есть Предикат. Кроме того, суждения могут дополняться кванторами, быть общими и частными. Но для кантовской это различие несущественно. Нас будет интересовать основная стурктура: Субъект есть Предикат. Почему так должно получаться? Если посмотрим и обобщим, то увидим, что это так. ... В результате, пришли к тому, что аристотелевская система недостаточно гибкая, придут к многоместным предикатам и так далее. Но Кант использует классические суждения: аналитические — предикат ..., синтетические — предикат содержится в субъекте. ...

Пример: во всяком равнобедренном треугольнике есть две равных стороны. Во всяком равнобедренном треугольнике есть два равных угла. Первое утверждение аналитическое, второе — синтетическое. Субъект — равнобедренный треугольник. Что такое равнобедренный треугольник — треугольник, содержит два равных угла.

... И Кант настаивает на том, что математические суждения (лектор тут сужает тему, так как Кант рассматривает все суждения вообще) по большей части являются синтетическими. И в этом отношении он не согласен с Лейбницем. Лейбниц как раз полагал, что все математические суждения на самом деле являются.

Если у нас есть некий результат, то у нас уже есть он, непоколебый опытом. А если мы хотим и это учесть, то нам надо учесть различие между априорными и апостериорными понятиями.

Хорошо. Будем считать, что аналитические утверждения априорны. Хорошо. С ними особых проблем нет. Остаются две основные, интересующие Канта группы: синтетические априорные и синтетические апостериорные. Синтетические апостериорные его отже не волнуют. У нас есть такая штука, как опыт, и мы можем про те предметы, которые в опыте, что-то такое узнавать. Это лишь констатация.

И интересуют Канта последние утверждения. Это утверждения математические, ... . Они сообщают нам нечто новое. У нас есть возможность присоединить некие новые сведения, свойства. И Кант полагает, что синтез предполагает некое созерцание, некую данность, нам должен быть дан предмет, обладающий этим свойством. Но суждения математики являются априорными, но мы знаем только один способ получения знаний — опыт, но он не может давать необходимые и всеобщие. Соответственно, должен происходить некий синтез. Это и есть главный трансцедентный вопрос — как возможны синтетические априорные суждения. Конкретно — как возможны синтетические априорные суждения в математике.

Ответом является следующее разделение, называется трансцендентальная эстетика. Аэстезис — по гречески — чувство, восприятие. Соответственно, эстетика — учение о чувствах, восприятии. Соответственно, этот раздел посвящен тому, как происходит чувственное восприятие. Здесь Кант служит своё учение о пространстве и времени, и оно и является ответом на этот вопрос. Обратим внимание, где нам искать этот синтез: вне сферы всякого возможного опыта? Невозможно, поскольку наше дост. познание относится исключительно к явлениям. Соответственно, он обнаружит этот странный синтез изнутри самой сферы опыта. Что же это за странная область, которую Кант обнаружил внутри сферы опыта? Эту область Кант назвал сфера трансцедентального. Кант введёт строгое различие тех двух терминов, которые до Канта не отличались. Трансцедентное и трансцендентальное. Трансцендентно — противоположно имманентно (есть некая область, то, что ей имманентно — внутри, трансцендентно — вне). Если мы возьмём сферу опыта, то имманентно ей будет опыт, трансцендентно — вещи сами по себе. Что же касается трансцедентально: опыт субъективен. Предположим, на меня произведено. некое действие, в результате возникает это явление. За то, какое это явление, отвечает не одна сторона, а две: ещё и то, как устроены мы сами. Соответственно, как полагает Кант, во всяком опыте, во всяком явлении, с которым мы имеем дело, есть два уровня — слой, который связан с тем, как подействовало, и слой, связанный с тем, как мы это восприняли. Соответственно, сфера трансцедентального — то, как устроен аппарат познания.

Но почему это не трансцедентно? Мы не можем сказать, что оно имманентно нашему опыту — мы не можем изучать аппарат познания, с другой стороны, нельзя называть его трансцендентным, потому что он нам дан. Как тогда мы его ощущаем? он обнаруживает себя при действии, мы его ощущаем. Рассмотрим разум как коробку с инструкциями — если бы разум был иммантнтен, то эту коробку мы бы могли изучать, если бы она была трансцендентной, то она была. Но мы постоянно имеем дело с тем, что изготовлено этими инструментами, и можем изучать, то, из чего это было сделано. Изучая, ... .

Так вот, Кант анализирует, производя первоначальные различия, выявляет несколько первоначальных уровней: выявляет уровень чувстсвенности, и отличает от уровня рассудка. Кроме того, он отличает регулятивную ... . Важно, что он выделяет сферу чувств. Она отвечает за то, как мы воспринимаем. В основе её тоже лежат определенные инструменты. Кант называет её определенной формой чувств. Форма — аппарат, материя — то, что оформляет. Есть всего две априорные формы чувств — пространство и время. (Про различие внешнего и внутреннего опыта) И говорит, что именно они делают возможным априорные синтезы, которые позволяют делать математические суждения. И тогда понятно, откуда берётся необходимая и строгая всеобщность. Суждения математики относятся именно к тому, как действует наш познавательный аппарат, именно поэтому они необходимы и всеобщи.